Feynmann - Feynmann 6

Интегрируя по t , получаем следующее выражение для им­пульса электрона:

(17.7)

где р 0— импульс, с которым электрон начинает двигаться, a DB cp— последующее изменение B ср. Работа бетатрона — машины, ускоряющей электроны до больших энергий, основана именно на этой идее.

Чтобы понять, как работает бетатрон, необходимо представ­лять себе принцип движения электрона по окружности. В гл. 11 (вып. 1) мы уже обсуждали этот принцип. Если на орбите элект­рона создать магнитное поле В, возникнет поперечная сила qvXB, которая при соответствующем выборе В может заставить электрон двигаться по предположенной орбите. В бетатроне эта поперечная сила вызывает движение электрона по круговой орбите постоянного радиуса. Мы можем определить, каким должно быть магнитное поле на орбите, опять с помощью ре­лятивистского уравнения движения, но на этот раз для попереч­ной компоненты силы. В бетатроне (см. фиг. 17.4) поле В пер­пендикулярно v, поэтому поперечная сила равна qvB . Таким образом, сила равна скорости изменения поперечной компо­ненты импульса p t :

(17.8)

Когда частица движется по окружности, Скорость изменения поперечного импульса равна величине полного импульса, умноженной на w — угловую скорость вращения (согласно аргу­ментам, приведенным в гл. 11, вып. 1):

(17.9)

где, поскольку движение круговое,

(17.10)

Полагая магнитную силу равной поперечному ускорению, имеем

(17.11)

где В орб— поле при радиусе, равном r .

В приведенном в действие бетатроне импульс электрона, согласно выражению (17.7), растет пропорционально B ср, и чтобы электрон продолжал двигаться по собственной окруж­ности, равенство (17.11) должно по-прежнему выполняться вместе с ростом импульса электрона. Величина B op бдолжна расти пропорционально импульсу р . Сравнивая (17.11) с (17.7), определяющим р, мы видим, что должно выполняться следую­щее соотношение между В ср — средним

магнитным полем внутри орбиты радиуса r и магнитным полем В ор6на орбите:

(17.12)

Для правильной работы бетатрона нужно, чтобы среднее магнитное поле внутри орбиты росло в два раза быстрее магнитного поля на самой орбите. При этих условиях с ростом энергии частицы, увеличивающейся за счет индуцированного электри­ческого поля, магнитное поле на орбите растет как раз со ско­ростью, нужной для удержания частицы на окружности.

Бетатрон используется для разгона электронов до энергий в десятки или даже в сотни миллионов электронвольт. Однако по ряду причин для ускорения электронов до энергий, много больших нескольких сот миллионов электронвольт, эта машина становится невыгодной. Одна из этих причин — трудность достижения на практике требуемой высокой величины среднего магнитного поля внутри орбиты, а вторая — несправедливость формулы (17.6) для очень больших энергий, так как в ней не учитывается потеря энергии частицей за счет излучения электро­магнитной энергии (так называемое синхротронное излучение, см. гл. 34, вып. 3). По этим причинам ускорение электронов до самых больших энергий — до многих миллиардов электрон-вольт — совершается посредством машины другого рода, назы­ваемой синхротроном.

§ 4. Парадокс

Теперь мы хотели бы предложить вам некий кажущийся парадокс. Парадокс возникает тогда, когда при одном способе рассуждений получается один ответ, а при другом способе — совсем другой, так что мы остаемся в неведении, что же собст­венно должно быть на самом деле. Разумеется, в физике никогда не бывает настоящих парадоксов, потому что существует только один правильный ответ; по крайней мере мы верим, что природа поступает только единственным способом (и именно этот спо­соб, конечно, правильный). Поэтому в физике парадокс — всего лишь путаница в нашем собственном понимании. Итак, вот наш : парадокс.

Представим, что мы конструируем прибор (фиг. 17.5), в котором имеется тонкий круглый пластмассовый диск, ук­репленный концентрически на оси с хорошими подшипниками, так что он совершенно свободно вращается. На диске имеется катушка из проволоки — короткий соленоид, концентричный по отношению к оси вращения. Через этот соленоид проходит постоянный ток / от маленькой батареи, также укрепленной на диске. Вблизи края диска по окружности на равном расстоянии размещены маленькие металлические шарики, изолированные друг от друга и от соленоида пластмассовым материалом диска. Каждый из этих проводящих шариков заряжен одинаковым зарядом Q . Вся картина стационарна, и диск неподвижен. Предположим, что случайно, а может и намеренно, ток в соленоиде прекратился, но, разумеется, без какого-либо вмешательства извне. Пока через соленоид шел ток, более или менее параллельно оси диска проходил магнитный поток.