Feynmann - Feynmann 3

Обсудим теперь случай, когда имеется n осцилляторов, расположенных на равных рас­стояниях один от другого и обладающих рав­ными амплитудами, но разными фазами созда­ваемых ими полей. Разность фаз создается либо из-за выбора определенных фазовых сдвигов колебаний осцилляторов, либо потому, что мы находимся под углом к осцилляторам и возни­кает разность хода лучей. Независимо от при­чины возникновения разности фаз необходимо вычислить сумму такого вида:

где j — разность фаз соседних осцилляторов для некоторого направления лучей. В данном частном случае j=a+2pd 1/ 2sinq. Вычислим сумму R. Для этого воспользуемся геометрическим способом сложения. Длина первого слагаемого А, а его фаза равна нулю; длина второго также А, а фаза его равна j. Следующее слагаемое имеет снова длину А и фазу, равную 2j, и т. д. В конце концов получается часть правильного много­угольника с n сторонами (фиг. 30.1).

Фиг. 30.1. Результирующая ам­плитуда шести аквидистантных источников при разности фаз j между каждыми двумя соседними источниками.

Вершины многоугольника лежат, конечно, на окружности, и чтобы легче было определить результирующую амплитуду, найдем радиус этой окружности. Пусть Q есть ее центр. Тогда угол OQS равен как раз фазе j (поскольку радиус QS образует с А 2такой же угол, как QO с a 1). Следовательно, радиус r дол­жен удовлетворять равенству А = 2 r sinj/2, откуда мы и на­ходим величину r . Далее, большой угол OQT равен nj ; следо­вательно, A R =2 r sinnj/2. Исключая из обоих равенств г, получаем

(30.2)

Таким образом, суммарная интенсивность оказывается равной

(30.3)

Проанализируем это выражение и обсудим вытекающие из него следствия. Прежде всего, положив n =1, получим, как и следовало ожидать, I = I 0. Проверим формулу для n=2: с помощью соотношения sinj=2sin j/2cosj/2 сразу находим А R = 2 Acos j/2, что совпадает с (29.12).

Мы вынуждены рассматривать сложение полей от многих источников потому, что в этом случае интенсивность в одном направлении получается много больше, чем в соседних, т. е. все побочные максимумы интенсивности оказываются гораздо меньше основного. Чтобы понять этот факт, начертим кривую соответствующую выражению (30.3) для больших n и j, близ­ких к нулю. Прежде всего, когда j точно равно нулю, мы полу­чаем отношение О/О, но фактически для бесконечно малых j отношение синусов равно n 2, так как синус можно заменить его аргументом. Таким образом, максимум кривой в n 2 раз больше интенсивности одного осциллятора. Этот результат легко по­нять, поскольку при нулевой разности фаз все n маленьких векторов складываются в один вектор, в n раз больший исход­ного, а интенсивность увеличивается в n 2раз.

С ростом фазы j отношение двух синусов падает и обращается в нуль в первый раз при nj/2 = p, поскольку sinp=0. Дру­гими словами, значение j=2p / n отвечает первому минимуму кривой (фиг. 30.2). С точки зрения векторов на фиг. 30.1 первый минимум возникает в том случае, когда стрелки векторов воз­вращаются в исходную точку, при этом полная разность фаз от первого до последнего осциллятора равна 2л.

Перейдем к следующему максимуму и покажем, что он дей­ствительно, как мы и ждали, много меньше первого. Для точ­ного определения положения максимума необходимо учитывать, что и числитель, и знаменатель в (30.3) оба меняются с измене­нием j. Мы не станем этого делать, поскольку при большом n sinj/2 меняется медленнее sinj/2 и условие sinj/2 =1 дает положение максимума с большой точностью. Макси­мум sin 2nj/2 достигается при nj/2=Зp/2 или j= Зp/n. Это озна­чает, что стрелки векторов описывают полторы окружности.

Подставляя j=3p/n, получаем sin 23p/2=l в числителе (30.3) (с этой целью и был выбран угол j) и sin 23n/2n в знамена­теле. Для достаточно большого n можно заменить синус его аргументом: sin Зp/2n =3p/2n. Отсюда интенсивность во втором максимуме оказывается равной I=I 0(4n 2/9p 2). Но n 2I 0— не что иное, как интенсивность в первом максимуме, т. е. интенсив­ность второго максимума получается равной 4/9p 2от максималь­ной, что составляет 0,047, или меньше 5%! Остальные макси­мумы, очевидно, будут еще меньше. Таким образом, возникает очень узкий основной максимум и очень слабые дополнительные максимумы по обе стороны от основного.