Feynmann - Feynmann 2

§ 1. Моменты сил в трехмерном пространстве

§ 2. Уравнения вращения в векторном виде

§ 3. Гироскоп

§ 4. Момент количества движения твердого тел

§ 1. Моменты сил в трехмерном пространстве

В этой главе мы рассмотрим одно из наи­более замечательных и забавных следствий за­конов механики — поведение крутящегося колеса. Для этого нам прежде всего нужно расширить математическое описание вращения, понятие момента количества движения, момента силы и т. д. на трехмерное пространство. Од­нако мы не будем использовать эти уравнения во всей их общности и изучать все следствия, ибо это займет многие годы, а нас ждут другие разделы, к которым мы вскоре должны перейти. В вводном курсе можно остановиться только на основных законах и их приложениях к весьма ограниченному числу особенно интересных слу­чаев.

Прежде всего хочу отметить, что для враще­ния в трех измерениях твердого тела или како­го-то иного объекта остается верным все, что мы получили для двух измерений. Иначе говоря, xF y - yF x так и остается моментом силы «в пло­скости ху», или моментом силы «относительно оси z». Остается справедливым также, что этот момент силы равен скорости изменения вели­чины хр y - ур х ; если вы вспомните вывод урав­нения (18.15) из законов Ньютона, то увидите, что фактически мы не использовали того обсто­ятельства, что движение плоское, и просто диф­ференцировали величину хр у - ур х и получали xF y - yF x , так что эта теорема остается верной. Величину хр у - ур х мы называли моментом ко­личества движения в плоскости ху, или момен­том количества движения относительно оси z. Кроме плоскости ху, можно использовать дру­гие пары осей и получить другие уравнения. Возьмем, например, плоскость yz . Уже из симметрии ясно, что если мы просто подставим у вместо х, a z вместо у, то для момента силы получим выражение yF z - zF y и yp z - zp y будет угловым моментом в этой плоскости. Разумеется, можно еще взять и плоскость zx и получить для нее

zF x - xF z =d/dt ( zp x - xp z ).

Совершенно ясно, что для движения одной частицы мы получаем и три уравнения для трех плоскостей. Более того, если мы складывали такие величины, как хр у —ур х , для многих частиц и называли это полным угловым моментом, то теперь у нас есть три сорта подобных выражений для трех плос­костей: ху, yz и zx , а сделав то же самое с моментами сил, мы можем также говорить и о полных моментах сил в этих плос­костях. Таким образом, появляются законы о том, что внешний момент сил в некоторой плоскости равен скорости изменения углового момента в той же плоскости. Это просто обобщение того, что писалось для двух измерений.

Однако теперь можно сказать: «Но ведь есть еще и другие плоскости. Разве нельзя в конце концов взять плоскость под каким-то углом и вычислять действующие в ней моменты сил. Для каждого такого случая нужно писать другие системы уравнений, так что в результате их наберется масса!» Здесь следует отметить очень интересное обстоятельство. Оказыва­ется, что если мы в комбинации x ' F y '- y ' F x ' для «косой» плос­кости выразим величины x', F y ' и т. д. через их компоненты, то результат можно записать в виде некоторой комбинации трех моментов в плоскостях ху, yz и zx . В этом нет ничего но­вого. Другими словами, если нам известны три момента сил в плоскостях ху, yz и zx , то момент сил в любой другой плоскости, как и угловой момент, может быть записан в виде их комби­нации: скажем, 6% одного, 92% другого и т. д. Этим свойством мы сейчас и займемся.

Пусть Джо для своих координатных осей х, у, z определял все моменты сил и все угловые моменты во всех плоскостях. Однако Мик направил свои оси х', у', z ' по-другому. Чтобы немного облегчить задачу, предположим, что повернуты только оси x и y. Мик выбрал другие оси х' и у', а его ось z осталась той же самой. Это означает, что плоскости yz и zx у него новые, а поэтому моменты сил и угловые моменты у него тоже окажутся новыми. Например, его момент сил в плоскости х'у' окажется равным