Feynmann - Feynmann 1

т. е. здесь мы встречаемся с таким положением, когда x-компонента скорости изменяется с быстротой, пропорциональной х. Нет смысла сейчас вводить многочисленные константы; в целях простоты предположим, что либо изменился масштаб времени, либо что-то произошло с другими единицами измерения, сло­вом, они выбраны так, что klm равно единице. Итак, будем пы­таться решать уравнение

Чтобы пойти дальше, нужно сначала разобраться в том, что такое v x; то, что это быстрота изменения положения, нам, разумеется, уже известно.

§ 4. Смысл динамических уравнений

Попытаемся теперь понять, что же означает уравнение (9.12). Пусть в данный момент времени t тело находится в точке х и движется со скоростью v x. Каково будет его положе­ние и скорость спустя небольшой промежуток времени, т. е. в момент t+e? Если мы сможем ответить на этот вопрос, то проблема решена, так как, исходя из начальных условий, т. е. положения и скорости в некоторый начальный момент времени, можно сказать, как они изменяются в первый момент, а зная положение и скорость в первый момент, можно найти их и в следующий и т. д. Таким образом, шаг за шагом вы­страивается вся картина движения. Для большей определен­ности предположим, что в момент t=0 положение грузика х=1, а его скорость v x=0. Почему вообще движется грузик? Да потому, что на него в любом положении, за исключением положения равновесия х=0, действует сила. Если х>0, то эта сила направлена вверх. Следовательно, скорость, кото­рая вначале была нулем, благодаря уравнениям движения начинает изменяться. Но как только скорость начинает воз­растать, грузик приходит в движение. Для любого момента времени t при очень малом е можно с достаточно хорошей точ­ностью найти положение в момент t+е через скорость и положение в момент t:

x(t+e)=x(t)+ ev x(t). (9.13)

Конечно, это выражение тем точнее, чем меньше e, но оно может быть достаточно точным, даже когда интервал e не исчезающе мал. Что теперь можно сказать о скорости? Чтобы определить скорость в момент t+e, очевидно, нужно знать, как она изменяется со временем, т. е. нужно знать ускорение. А как узнать его? Вот здесь-то нам на помощь приходят уравнения динамики. Именно они позволяют определить, чему равно ускорение. В нашей задаче уравнение динамики говорит, что ускорение равно -x. Поэтому

v x(t+e)=v x(t)+ ea x(t), (9.14)

= v x(t)- ex(t). (9.15)

Уравнение (9.14) еще кинематическое; оно просто говорит о том, что из-за наличия ускорения скорость изменяется. Однако уравнение (9.15) уже динамическое, потому что оно связывает ускорение с силой. Оно говорит, что в данной частной задаче для данного момента времени ускорение можно заменить на -х(t). Следовательно, если в какой-то момент времени нам известны положение х и скорость v x, то мы знаем и ускорение, которое дает возможность найти скорость в следующий момент, а скорость в свою очередь определяет новое положение и т. д. Вот каким образом действует весь этот динамический меха­низм! Действующая сила немного изменяет скорость, а скорость приводит к небольшому изменению положения.

§ 5. Численнов решение уравнений

Давайте теперь действительно решим нашу задачу. Допус­тим, что мы взяли e=0,100 сек. (Если после того, как мы про­делаем все вычисления, окажется, что этот интервал не достаточ­но мал, то необходимо повторить все сначала с меньшим интервалом времени, например 0,010 сек.) Чему будет равно х(0,1), если в начальный момент времени х (0) = 1? Оно равно старому положению х(0) плюс скорость в начальный момент (которая равна нулю), умноженная на 0,10 сек. Таким образом, х(0,1) равно 1,00, ибо грузик еще не начал двигаться. Но новая скорость в момент 0,10 сек будет равна старой скорости v (0)=0 плюс e, умноженное на ускорение. А само ускорение равно -х(0)=-1,00. Так что

v(0,1)=0,00+0,10·1,00=-0,10. В момент 0,20 сек

х(0,2)=х(0,1)+ev(0,1)=1,00-0,10·0,10=0,99

и

v(0,2)=v(0,1)+ ea(0,1) =-0,10-0,10·1,00 =-0,20.

Продолжая эту процедуру еще и еще, можно найти положение и скорость в любой момент времени, а это как раз то, что нам нужно. Однако практически мы используем нехитрый прием, который позволит увеличить точность вычислений. Если бы мы продолжали начатые нами расчеты, то они оказались бы до­вольно грубыми, поскольку интервал e=0,10 сек довольно большой. Пришлось бы уменьшить его, скажем, до 0,01 сек. Но тогда, чтобы проследить движение за какой-то разумный отрезок времени, потребовалось бы сделать множество шагов. Мы же организуем процесс таким образом, что сможем увели­чить точность, используя тот же интервал e=0,10 сек. Этого можно достичь, несколько изменив метод расчета.