Ангелина Яковлева: Ответы на экзаменационные билеты по эконометрике

Доказательство. В силу второго свойства дисперсии (постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат) и оценки D(Xi)≤C получим:

Таким образом,

Из данного соотношения и неравенства Чебышева вытекает, что

Отсюда, переходя к пределу при n› ε , получим

Учитывая, что вероятность не может быть больше единицы, окончательно запишем:

что и требовалось доказать.

Если для рассматриваемых случайных величин математическое ожидание одинаково и дисперсии данных величин ограничены, то к ним применима теорема Чебышева. В этом случае считается справедливым утверждение, что среднее арифметическое достаточно большого количества попарно независимых случайных величин, дисперсии которых ограничены одной и той же постоянной, утрачивает характер случайной величины.

Предположим, что проводится n независимых испытаний. В каждом из этих испытаний вероятность наступления события А постоянна и равна р . Задача состоит в определении относительной частоты появлений события А . Данная задача решается с помощью теоремы Бернулли.

Теорема Бернулли.Если в каждом из n независимых испытаний событие A имеет постоянную вероятность p , то, как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты m/n от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико, т. е. при соблюдении условий теоремы справедливо равенство:

Доказательство. Предположим, что

является дискретной случайной величиной, которая характеризует число появлений события А в каждом из испытаний. Данная величина может принимать только два значения: 1 (событие А наступило) с вероятностью р и 0 (событие А не наступило) с вероятностью q=1-p .

Случайные дискретные величины Хi являются попарно независимыми и дисперсии их ограниченны, следовательно, к данным величинам применима теорема Чебышева:

Математическое ожидание а каждой из величин Хi равно вероятности р наступления события, следовательно, справедливо следующее равенство:

Таким образом, необходимо доказать, что дробь

или

равна относительной частоте m/n появлений события А в n испытаниях.

Каждая из величин

при наступлении события А в соответствующем испытании принимает значение, равное единице. Следовательно, сумма

равна числу m появлений события А в n испытаниях:

С учётом данного равенства можно окончательно записать:

что и требовалось доказать.