БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (РЯ)

Здесь есть возможность читать онлайн «БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (РЯ)» весь текст электронной книги совершенно бесплатно (целиком полную версию без сокращений). В некоторых случаях можно слушать аудио, скачать через торрент в формате fb2 и присутствует краткое содержание. Жанр: Энциклопедии, на русском языке. Описание произведения, (предисловие) а так же отзывы посетителей доступны на портале библиотеки ЛибКат.

Большая Советская Энциклопедия (РЯ): краткое содержание, описание и аннотация

Предлагаем к чтению аннотацию, описание, краткое содержание или предисловие (зависит от того, что написал сам автор книги «Большая Советская Энциклопедия (РЯ)»). Если вы не нашли необходимую информацию о книге — напишите в комментариях, мы постараемся отыскать её.

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) — читать онлайн бесплатно полную книгу (весь текст) целиком

Ниже представлен текст книги, разбитый по страницам. Система сохранения места последней прочитанной страницы, позволяет с удобством читать онлайн бесплатно книгу «Большая Советская Энциклопедия (РЯ)», без необходимости каждый раз заново искать на чём Вы остановились. Поставьте закладку, и сможете в любой момент перейти на страницу, на которой закончили чтение.

Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать

Одни и те же величины могут выражаться через суммы различных рядов. Так, для числа p, кроме Р. (3), имеются и другие Р., например

Большая Советская Энциклопедия РЯ - изображение 10,

однако он сходится значительно «медленнее» Р. (3), и потому его невыгодно использовать для приближённого вычисления числа p . Существуют методы преобразования Р., иногда улучшающие скорость сходимости Р.

На бесконечные суммы не переносятся все свойства конечных сумм. Например, если взять Р.

1 - 1 + 1 - 1 +... (5)

и сгруппировать подряд его члены по два, то получим (1—1) + (1—1) +... = 0; при другом же способе группировки 1 — (1 — 1) — (1 — 1) —... = 1. Поэтому следует дать чёткое определение того, что называется бесконечной суммой, и, определив это понятие, проверить, справедливы ли для таких сумм закономерности, установленные для конечных сумм. Доказывается, что для бесконечного числа слагаемых при определённых условиях сохраняются законы коммутативности и ассоциативности сложения, дистрибутивности умножения относительно сложения, правила почленного дифференцирования и интегрирования и т. п.

Числовые ряды.Формально Р. (1) можно определить как пару числовых (действительных или комплексных) последовательностей { u n } и { S n} таких, что S n = u 1+... + u n, n = 1, 2,... Первая последовательность называется последовательностью членов Р., а вторая — последовательностью его частичных сумм [точнее S nназывается частичной суммой n- го порядка Р. (1)]. Р. (1) называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм { S n} . В этом случае предел

картинка 11

называется суммой Р. и пишется

картинка 12

Т. о., обозначение (1) применяется как для самого Р., так и для его суммы (если он сходится). Если последовательность частичных сумм не имеет предела, то Р. называется расходящимся. Примером сходящегося Р. является Р. (2), расходящегося — Р. (5). Каждый Р. однозначно определяет последовательность его частичных сумм, и обратно: для любой последовательности { s n} имеется и притом единственный Р., для которого она является последовательностью его частичных сумм, причём члены u nэтого Р. определяются по формулам u 1 = s 1,..., u n+1 = s n + 1 — s n ,..., n = 1, 2,... В силу этого изучение Р. эквивалентно изучению последовательностей.

Р. картинка 13 называется остатком порядка n Р. (1). Если Р. сходится, то каждый его остаток сходится, а если какой-либо остаток Р. сходится, то и сам Р. также сходится. Если остаток порядка n Р. (1) сходится и его сумма равна r n , то s = s n + r п.

Если Р. (1) и Р.

Большая Советская Энциклопедия РЯ - изображение 14

сходятся, то сходится и Р.

Большая Советская Энциклопедия РЯ - изображение 15,

называемый суммой рядов (1) и (6), причем его сумма равна сумме данных Р. Если Р.(1) сходится и l — комплексное число, то Р.

Большая Советская Энциклопедия РЯ - изображение 16,

называемый произведением Р. на число l, также сходится и

Большая Советская Энциклопедия РЯ - изображение 17.

Условие сходимости Р., не использующее понятия его суммы (в случаях, когда, например, сумма Р. неизвестна), даёт критерий Коши: для того чтобы Р. (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого e > 0 существовал такой номер n e, что при любом n ³ n eи любом целом р ³ 0 выполнялось неравенство

Большая Советская Энциклопедия РЯ - изображение 18.

Отсюда следует, что если Р. (1) сходится, то

Большая Советская Энциклопедия РЯ - изображение 19

Обратное неверно: n -й член так называемого гармонического ряда

Большая Советская Энциклопедия РЯ - изображение 20

стремится к нулю, однако этот Р. расходится.

Большую роль в теории Р. играют Р. с неотрицательными членами. Для того чтобы такой Р. сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху. Если же он расходится, то

Большая Советская Энциклопедия РЯ - изображение 21,

Читать дальше
Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать
Отзывы о книге «Большая Советская Энциклопедия (РЯ)»

Обсуждение, отзывы о книге «Большая Советская Энциклопедия (РЯ)» и просто собственные мнения читателей. Оставьте ваши комментарии, напишите, что Вы думаете о произведении, его смысле или главных героях. Укажите что конкретно понравилось, а что нет, и почему Вы так считаете.

x