Апостолос Доксиадис - Дядюшка Петрос и проблема Гольдбаха

У него заблестели глаза – глубоко, направленно, – и он закончил:

– Я, Петрос Папахристос, никогда не опубликовавший ни одного значительного результата, войду в историю математики – точнее, не войду в нее, как человек, ничего не достигший. И это мне подходит. Я не сожалею. Середина меня бы никогда не устроила. Этому эрзацу, бессмертию в сноске, я предпочитаю мой сад, мои цветы, мои шахматы, тот разговор, который у нас с тобой сегодня. Полное забвение!

При этих словах воскресло мое подростковое обожание Идеального Романтического Героя, но сейчас оно было скомпенсировано изрядной дозой реализма.

– То есть, дядя, вопрос стоял так: «все или ничего»?

Он медленно кивнул:

– Можно сформулировать и так.

– И это был конец твоего творческого пути? Больше ты уже не возвращался к проблеме Гольдбаха?

Он поглядел на меня удивленно:

– Возвращался, конечно! На самом деле именно после этого я сделал всю основную работу. – Он улыбнулся. – Мы до этого еще дойдем, мой мальчик. Не беспокойся, в истории моей жизни не будет ignorabimus [19] !

И он вдруг громко рассмеялся собственной шутке – слишком громко, подумалось мне. Потом наклонился ко мне и, понизив голос, спросил:

– Ты посмотрел теорему Гёделя о неполноте?

– Посмотрел, – ответил я, – но не понимаю, какое она имеет отношение к…

Он резко поднял руку, обрывая мою речь.

– « Wir mussen wissen , wir werden wissenf In der Mathematik gibt es kein ignorabimus », – произнес он отчетливо и так громко, что голос его эхом отразился от сосен и вернулся зловеще, как голос призрака. Предположение Сэмми о безумии мгновенно мелькнуло у меня в голове. Может быть, воспоминания усилили его болезнь? Может быть, дядя невменяем?

Мне стало легче, когда он добавил более нормальным голосом:

– «Мы должны знать, мы будем знать! В математике нет ignorabimus !» Так сказал великий Давид Гильберт на международном конгрессе в 1900 году. Объявление математики небесами Абсолютной Истины. Философия Евклида, философия Непротиворечивости и Полноты…

Дядя Петрос вернулся к своему рассказу.

Философией Евклида было преобразование случайного собрания наблюдений над числами и геометрическими фигурами в хорошо организованную систему, где, взяв за основу принятые априори элементарные истины, можно с помощью логических операций, шаг за шагом прийти к строгому доказательству всех истинных утверждений. Математика – как дерево с сильными корнями (Аксиомы), могучим стволом (Строгое Доказательство) и вечно растущей кроной, расцветающей чудесными цветами (Теоремы). Все математики следующих времен – геометры, алгебраисты, специалисты по теории чисел, и более поздние – аналитики, специалисты по алгебраической геометрии, теории групп и т.д., работники всех математических дисциплин, возникающих до сего дня (новые ветви все того же дерева) – никогда не отклонялись от курса великого пионера: Аксиомы – Строгое Доказательство – Теоремы.

С горькой улыбкой Петрос вспомнил проповеди Харди насчет гипотез, обращенные ко всем (особенно к бедняге Рамануджану, который их рождал, как плодородная почва рождает траву): не приставать к нему с гипотезами. «Доказывайте! Доказывайте!» Харди любил говорить, что если бы для благородного рода математиков понадобился геральдический девиз, ничего нельзя было бы придумать лучше этого: «Quod Erat Demonstrandum» [20].

В 1900 году на Втором международном конгрессе математиков в Париже Гильберт объявил, что настало время довести древнюю мечту до ее окончательных следствий. В настоящий момент у математиков есть язык формальной логики, которого не было у Евклида, и этот язык позволяет изучать строгим образом саму математику. Следовательно, святая троица Аксиомы – Строгое Доказательство – Теоремы должна быть применена не только к числам, фигурам или алгебраическим сущностям различных математических теорий, но и к самим теориям. Математики могут наконец строго доказать то, что в течение двух тысячелетий было их главным кредо, не подвергаемым сомнению, центром всего взгляда на математику: а именно, что в математике любое истинное утверждение доказуемо.

Через несколько лет Рассел и Уайтхед выпустили свой монументальный труд «Principia Mathematica», впервые предложив абсолютно строгий способ рассуждений о дедукции: теорию доказательств. И хотя это новое средство много обещало в смысле окончательного ответа на вызов Гильберта, двум английским логикам не удалось фактически доказать критическое свойство. Полнота математических теорий (то есть тот факт, что в них любое истинное утверждение доказуемо) еще не была доказана, но уже ни у кого не оставалось ни малейших сомнений ни в уме, ни в сердце, что когда-нибудь – и очень скоро – такое доказательство появится. Математики продолжали верить, как верил Евклид, что обитают в Царстве Абсолютной Истины. Победный клич, произнесенный на Парижском конгрессе – «Мы должны знать, мы будем знать, в математике нет ignorabimus », - составлял предмет нерушимой веры любого работающего математика.