Шон Кэрролл - Вечность. В поисках окончательной теории времени

Первой крупной догадкой Больцмана было осознание того факта, что у молекул есть гораздо больше способов равномерно (более или менее) распределиться по объему контейнера, чем всем вместе скопиться у одной из его стенок. Представьте себе, что мы подсчитали имеющиеся молекулы и навесили на них номера от 1 до 2000. Нам интересно, сколько существует способов организовать молекулы так, чтобы в левой и правой половинах контейнера оказалось ровно требуемое число молекул. Например, сколько есть способов поместить 2000 молекул в левую часть и 0 в правую? Ровно один. Мы следим только за тем, в какой половине контейнера находится каждая молекула, и нас не интересуют ее точное положение и импульс, поэтому мы всего лишь берем и помещаем каждую молекулу в левую часть контейнера.

Теперь попробуем ответить на вопрос: сколькими способами можно поделить молекулы так, чтобы в левой части оказалось 1999 молекул, а в правой – ровно одна? Ответ: двумя тысячами способов, по одному на каждую молекулу, которой посчастливилось попасть в правую половину. А если мы хотим, чтобы в правой части всегда находилась пара молекул? Это можно сделать 1 999 000 способов. И в конце концов, если мы обнаглеем поместить в правую половину три молекулы, оставляя в левой 1997, то обнаружим, что вариантов такого размещения молекул целых 1 331 334 000. [128]

Очевидно, что эти числа увеличиваются очень быстро: 2000 намного больше 1, 1 999 000 намного больше 2000, а 1 331 334 000 еще больше. По мере того как мы в ходе своего мысленного эксперимента перемещаем все больше и больше молекул в правую половину, опустошая левую, они продолжают возрастать, а затем в определенный момент начинают уменьшаться. В конце концов, задавшись вопросом, много ли существует способов поместить все 2000 молекул в правую часть контейнера, оставив в левой ровно ноль, мы вновь вернемся к единственному уникальному варианту такой конфигурации.

Ситуация, соответствующая наибольшему числу всевозможных конфигураций, – очевидно, та, когда в каждой половине контейнера находится ровно по 1000 молекул. Создать такую конфигурацию можно… в общем, очень большим количеством способов. Мы не будем приводить точное число; скажем только, что оно примерно равно 2 × 10 600– двойка, за которой следует шестьсот нулей. И это всего лишь для двух тысяч частиц. Попробуйте вообразить приблизительное число возможных конфигураций атомов в комнате с обычным объемом воздуха или даже в стакане воды (предмет, который можно удержать в руке, состоит где-то из 6 × 10 23молекул – это число Авогадро). Возраст Вселенной – всего лишь около 4 × 10 17секунд, так что можете представить себе, как быстро вам придется двигать молекулы туда и сюда, для того чтобы изучить все возможные допустимые конфигурации.

Все это наводит на определенные мысли. Существует относительно немного способов собрать все молекулы в одной половине контейнера, но огромное число вариантов более или менее равномерного распределения их по доступному пространству. К тому же разумно ожидать, что очень неравномерное распределение с легкостью будет переходить в относительно равномерное, но не наоборот. Эти заявления похожи, но не эквивалентны. Следующим шагом Больцмана было предположение о том, что если у нас нет какой-то особой информации о состоянии системы, то следует предполагать, что она будет переходить от «специальных» конфигураций к «общим», то есть от ситуаций, соответствующих относительно небольшому числу вариантов расположения частиц, к ситуациям, соответствующим множеству способов их расположения.

Размышляя подобным образом, Больцман ставил целью объяснить на атомном уровне второе начало термодинамики – утверждение, что энтропия в замкнутой системе всегда увеличивается (или остается постоянной). Формулировки второго начала уже были даны Клаузиусом и другими учеными, однако Больцман хотел вывести их из некоего простого набора базовых принципов. Вы уже заметили, что статистическое мышление движет нас в правильном направлении: заявление о том, что «развитие систем происходит от специальных конфигураций к общим», весьма похоже на «развитие систем происходит от конфигураций с низкой энтропией к конфигурациям с высокой энтропией».

Таким образом, напрашивается определение энтропии как «количества перестановок микроскопических частей системы, при которых ее макроскопическое состояние не меняется». В нашем примере с перегородкой внутри контейнера это соответствует количеству способов разместить отдельные молекулы внутри сосуда так, чтобы общее число молекул в каждой половине осталось неизменным.