Марио Ливио - Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса

Представления Платона заложили основу платонизма – такое название получили его идеи в философии вообще и в проблеме природы математики в частности [19] Интересное обсуждение платонизма и его места в философии математики см. в книгах Tiles 1996, Mueller 1992, White 1992, Russell 1945, Tait 1996. Превосходное популярное изложение можно найти в Davis and Hersh 1981, Barrow 1992. . Платонизм в самом широком смысле слова предполагает веру в некие вечные, незыблемые абстрактные объекты, абсолютно независимые от эфемерного мира, которые мы воспринимаем посредством органов чувств. Согласно платонизму, реальное существование математических понятий – столь же объективный факт, сколь и существование самой Вселенной. Существуют не только натуральные числа, окружности и квадраты, но и мнимые числа, функции, фракталы, неевклидовы геометрии, бесконечные множества, а также самые разные теоремы, которые их описывают. Короче говоря, каждое математическое понятие или «объективно истинное» суждение (подробнее об этом чуть позже), когда бы то ни было сформулированные или возникшие в чьем-то воображении, и бесконечное количество понятий и утверждений, еще не открытых, – все это абсолютные сущности, или универсалии , которые нельзя ни создать, ни уничтожить. Они существуют независимо от наших знаний о них. Нет нужды говорить, что это не физические объекты, они обитают в автономном мире вечных сущностей. Математики для платонизма – исследователи неведомых земель, они могут лишь открыть математические истины, но не изобрести их. Америка существовала задолго до того, как ее открыл Колумб (или Лейф Эриксон), – так и математические теоремы существовали в платоновском мире задолго до того, как вавилоняне приступили к математическим изысканиям. Для Платона подлинно, в полной мере существуют лишь эти абстрактные математические формы и идеи, поскольку лишь в математике, по его мнению, можно обрести совершенно точные и объективные познания. Следовательно, по Платону, математика тесно связана с божественным (подробнее об этом см. Mueller 2005). В диалоге «Тимей» бог-творец формирует мир при помощи математики, а в «Государстве» знание математики становится главным шагом на пути к познанию божественных форм. Платон не применяет математику для формулировки некоторых законов природы, которые можно проверить экспериментально. Для него математический характер мира – всего лишь следствие того, что «Бог всегда остается геометром».

Платон распространил идеи «истинных форм» и на другие дисциплины, в особенности на астрономию. Он считал, что при изучении подлинной астрономии «мы должны оставить небеса в покое» [20] Платон рассуждает об астрономии и движении планет в «Государстве» (Plato ок. 360 до н. э.), в «Тимее» и в «Законах». Следствия точки зрения Платона обсуждаются в Vlostos 1975 и Mueller 1992. и не пытаться рассчитывать взаимное положение и видимое движение звезд. Платон полагал, что истинная астрономия – это наука, изучающая законы движения в некоем идеальном математическом мире, движения, для которого наблюдаемые небеса – лишь иллюстрация (в том же смысле, в каком геометрические фигуры, начерченные на папирусе, лишь иллюстрируют истинные фигуры).

Представления Платона об астрономических исследованиях казались противоречивыми даже некоторым самым убежденным платоникам. Сторонники его идей утверждали, что на самом деле Платон считает не что подлинная астрономия должна заниматься какими-то идеальными небесами, не имеющими отношения к наблюдаемым, но что ее задача – изучать реальное движение небесных тел, а не искаженное, какое мы наблюдаем с Земли. Однако многие мыслители указывают, что, если понимать максиму Платона слишком буквально, это сильно затруднило бы развитие наблюдательной астрономии как науки. Впрочем, как бы мы ни толковали отношение Платона к астрономии, во всем, что касается основ математики, платонизм играет ведущую роль.

Но существует ли платоновский мир математики на самом деле? И если да, то, собственно, где? И что это за «объективно истинные» утверждения, которые населяют этот мир? Или же математики, которые придерживаются платонизма, просто выражают те же романтические представления, каких, как говорят, придерживался великий художник Возрождения Микеланджело? Согласно легенде, Микеланджело был убежден, что его великолепные скульптуры уже существуют в глубине мраморных глыб, а его задача – лишь стесать все лишнее.

Современные платоники (да-да, они есть, и их представления мы подробно опишем в следующих главах) настаивают, что платоновский мир математических форм совершенно реален, и предлагают конкретные, по их мнению, примеры объективно истинных математических утверждений, которые обитают в этом мире.