Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

А так как мы с вами уже знаем, что означают числа последовательности, мы с их помощью можем доказать состоятельность многих и многих других удивительных закономерностей. Возьмем, к примеру, ту из них, о которой мы говорили в конце главы 4, когда просчитывали диагонали Паскалева треугольника:

Так, восьмая диагональ дает нам

С точки зрения «подсчета комбинаций» это значит, что

Чтобы понять суть этой закономерности, попробуем ответить на один вопрос двумя различными способами.

Вопрос: Сколько существует возможных комбинаций единиц и двоек, дающих в сумме 8?

Ответ номер один: Судя по тому, о чем мы говорили чуть выше, – f 8= F 9.

Ответ номер два: Представим себе эту проблему как 5 частных задач, в основе каждой из которых лежит количество двоек в комбинации. Сколько комбинаций обойдется вообще без двоек? Разумеется, только одна – 11111111. И поэтому совсем не случайно, что

С одной двойкой? Уже семь: 2111111, 1211111, 1121111, 1112111, 1111211, 1111121, 1111112. Каждая из них состоит из семи цифр, и, смещая двойку шаг за шагом, получаем

С двумя двойками (скажем, 221111)? Не будем перечислять их все, просто отметим, что любая из них будет состоять из двух двоек и четырех единиц, то есть всего из шести цифр, что дает нам возможных местоположений двоек. По той же логике комбинации с тремя двойками будут включать в себя две единицы и состоять из 5 цифр, а общее их количество будет равняться И наконец, из четырех двоек у нас получится всего одна комбинация (а именно 2222), потому что

Оба ответа отлично проясняют всю ситуацию. И заодно объясняют, почему сумма чисел n -ной диагонали треугольника Паскаля равна одному из чисел последовательности Фибоначчи. То есть при n ≥ 0 сложение чисел диагонали n (вплоть до того момента, пока через n /2 шагов мы не выйдем за границы треугольника) дает нам

К тому же можно прийти, представив последовательность Фибоначчи в виде плиток черепицы . Тогда f 4= 5 означает 5 способов выложить один ряд (условно состоящий из 4 квадратов) одинарными (в виде квадратов) и двойными (в виде прямоугольников) плитками. То есть 1 + 1 + 2 будет выглядеть как «квадрат – квадрат – прямоугольник».

Такую визуализацию можно использовать, чтобы понять другие закономерности, основанные на числах Фибоначчи. Давайте посмотрим, что произойдет, если возвести числа Фибоначчи в квадрат.

В том, что, сложив два соседних числа последовательности Фибоначчи, мы получим следующее за ними, ничего нового для нас нет (в конце концов, именно так и появилась эта последовательность). А теперь посмотрите на числа Фибоначчи, возведенные в квадрат и сложенные между собой:

Попробуем объяснить эту закономерность с точки зрения счета. Последнее уравнение утверждает, что

Почему? Ответим на простой вопрос.

Вопрос: Сколькими способами можно выложить из квадратов и прямоугольников ряд длиной в 10 квадратов?

Ответ 1: Естественно, f 10. Вот один из вариантов – визуализация суммы 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1.

То есть разрывы между плитками у нас будут после 2, 3, 4, 6, 7, 9 и 10 квадратов (попросту – везде, кроме центральной оси прямоугольников, в нашем примере – это после 1, 5 и 8 квадратов).