Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

Давайте посмотрим на числа π и e как на случайный набор цифр. Существует теоретическая вероятность, что рано или поздно среди них вам встретится ваше любимое целое число. Например, мое любимое 2520 – это знаки с 1845 по 1848 числа π. Первые 6 чисел Фибоначчи – 1, 1, 2, 3, 5, 8 – появляются вновь, начиная с 820 390 позиции. Удивительного тут на самом деле ничего нет: шансы, что идущие подряд 6 цифр совпадут со случайным шестизначным числом, – один к миллиону. А так как среди первого миллиона знаков у нас примерно один миллион шестизначных последовательностей, наши шансы не так уж и малы. С другой стороны, удивителен тот факт, что число 999 999 появляется в π сравнительно скоро, уже на 763 знаке. По этому поводу физик Ричард Фейнман как-то заметил, что если бы он помнил и воспроизводил первые 767 знаков, люди бы верили в то, что π – число вполне себе рациональное, ведь он заканчивал бы словами «Девять, девять, девять, девять, девять, девять и т. д.!».

Представляете, существуют даже специальные программы (в том числе и онлайн), которые ищут придуманные вами последовательности цифр среди знаков π и e . Испытывая одну из них, я с удивлением обнаружил, что знаки числа π, начиная с трехтысячного, выглядят как 31961 – день моего рождения, 19 марта 1961 года [36]!

Давайте суммируем все, что нам на настоящий момент известно о суммах.

В начале главы мы выяснили, что

и поняли, что это – особый случай геометрического ряда, в котором при любом значении x (при условии, что –1 < x < 1)

Все это верно и для отрицательных величин от 0 до –1. Например, при x = –1/2 получаем

Ряд, в котором постоянно чередуются положительные и отрицательные величины, с каждым шагом приближающиеся к нулю, называется знакочередующимся . Он всегда сходится. Чтобы представить его более наглядно, начертите оси координат и поставьте палец в точку ноля. А теперь перемещайте палец таким образом: сначала вправо на единицу, потом влево на 1/2, вправо на 1/4 (проверьте себя – к этому моменту вы должны быть на точке 3/4), влево на 1/8 (на точку 5/8) и т. д. Рано или поздно ваш палец остановится на одной точке – 2/3 – и не сможет никуда с нее деться.

Возьмем другой знакочередующийся ряд:

После четвертого члена нам становится понятно, что бесконечная сумма составит минимум 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 = 7/12 = 0,583…, после пятого – максимум 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 = 47/60 = 0,783…. Истина, как всегда, кроется где-то посередине – 0,693147…. С помощью исчисления мы можем найти действительное значение этого числа.

Чтобы размяться, возьмем следующий ряд

и посмотрим, что будет, если продифференцировать обе его части. Помните, в главе 11 мы определили, что производные 1, x, x 2, x 3, x 4и т. д. равны соответственно 0, 1, 2 x , 3 x 2, 4 x 3и т. д.? Получается, что производная бесконечной суммы есть (бесконечная) сумма производных. А теперь применим цепное правило, чтобы продифференцировать (1– x ) –1. При –1 < x < 1 получаем

Посмотрим на другой ряд, заменив x на – x . При –1 < x < 1

Найдем для обеих сторон антипроизводные (или первообразные ), то есть займемся тем, что называется интеграцией . Чтобы это сделать, двинемся назад: например, если производная x ² – 2 x , то первообразная 2 x – x ². (Специально для тех, кто любит «погорячее»: производная x ² + 5, x ² + π или x ² + c при любом значении c также равна 2 x , поэтому первообразная 2 x – и на самом деле x ² + c .) Значит, первообразными 1, x, x ², x ³, x 4и т. д. будут соответственно x, x 2/2, x 3/3, x 4/4, x 5/5 и т. д., а первообразной 1/(1 + x ) – натуральный логарифм 1 + x . То есть при –1 < x < 1