Эрик Белл - Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Если бы он преуспел в этом, он бы приблизил по меньшей мере часть современной теории континуума.

Вместо «конечного и бесконечного» Пифагора, Платон использовал понятие «большое и малое», что напоминает наш континуум, как, например, «все множество чисел, соответствующее точкам на линии».

Из этого и Единицы он попытался получить свои Идеальные числа, которые некоторые толкователи, включая Аристотеля, наделяли идентичной сутью с его Идеями или Формами. Но, подобно всем своим современникам, Платон оказался ограничен недостатком системы обозначений, способной записать и придать форму неуловимой концепции, которую он, возможно, создал в своем воображении, и профессионалам-платонистам еще только предстоит достигнуть согласия по поводу, какова она все-таки как единое целое. Возможно, если бы Идеальные числа были созданием юного Платона, а не Платона-старца, их было бы много проще понять.

Мы рассмотрим затем ту роль, которую парадоксы Зенона могли сыграть и, вероятно, сыграли в неспособности греков перейти от их теории величин к обобщенной арифметике, способной описать движение. «Бесконечное число», заложенное в «величинах» геометров, ускользало как от математиков, так и от философов вплоть до последней трети XIX столетия.

Нельзя добежать до конца дистанции в забеге, потому что, прежде чем пробежать всю дистанцию, необходимо пройти ее половину, а чтобы дойти до половины, надо перевалить через четверть дистанции, и так далее до бесконечности. Из этого следует, что в любом заданном месте пространства существует бесчисленное множество точек. И нет никакой возможности дотронуться до каждой точки бесчисленного множества точек за определенный момент времени.

Но атлеты-то доходят до финиша, а некоторые из них пробегают сто ярдов за девять с половиной секунд, что само по себе является конечной величиной времени.

Атлеты не только проходят дистанцию, а самый быстрый из них обходит всех, кто оказался ближе к финишу, и выигрывает забег. У нас, наверное, что-то не так со зрением, поскольку «того, кто медленнее, никогда не обгонит на его траектории тот, кто быстрее, поскольку преследующий обречен всегда прибегать сначала к точке, которую преследуемый только что покинул. Следовательно, тот, кто медленнее, всегда будет впереди».

Еще более увлекательно звучит, что нельзя совершить убийство с использованием стрел, огнестрельного оружия, ножей или любых других материальных орудий. Потому что стрела, или пуля, или нож должны проходить сквозь тело жертвы, а чтобы сделать это, они должны двигаться. Но они не могут двигаться, потому что для них самостоятельное движение невозможно, и далее все, как в предыдущем примере, используя подобную же схему умозаключений. Хотя тысячи человек были застрелены или заколоты насмерть, а других повесили за совершенные убийства. Либо имеет место серьезная ошибка в логике, либо еще большая судебная ошибка. Но логика не ошибается, ведь она самая проверенная подручная чистого разума. Следовательно, наши ощущения, как всегда, должны были сознательно ввести нас в заблуждение. Мы выдумали все эти легкоатлетические состязания, а быстроногие атлеты, выигрывающие забеги, которых мы наблюдали, и все эти убийства, о которых читали в газетах, были всего лишь иллюзиями нашего чувственного опыта. Ничего этого не было.

Если последнее звучит как пародия на нормальное доказательство и еще более нормальный жизненный опыт, каковым он является, можно вспомнить множество примеров из истории, таких же абсурдных карикатур на нормальную психику и здравый смысл. Чтобы привести пример, который не будет спорным, поскольку все поводы для споров давно исчерпаны, обратимся к истории с ортодоксальными логиками времен Галилея (конец XVI века), отрицающими очевидность чувственного опыта в случае падения тел. Логики видели, как тела весом один фунт и десять фунтов падали с равной высоты и коснулись земли одновременно. Но их интуитивная логика подсказывала им, что следует предположить, что более тяжелое тело должно падать в десять раз быстрее, чем легкое. Увиденное, следовательно, было навязчивым обманом разума со стороны чувств. Они продолжали настаивать на своей правоте, и для них, следовательно, все было очевидно. Чуть позже более податливые приняли приглашение Галилея посмотреть на спутники Юпитера через его телескоп. Они легко отнесли то, что увидели, к числу миражей, созданных дефектами на стекле линз. Греческая астрономическая система не предполагала существования этих искусственных спутников. Следовательно, они не могли существовать наяву. Пятна на солнце, в существовании которых Галилей начал убеждать завзятых логиков еще позднее, предлагая взглянуть на небеса «через его стеклянное око», также были отвергнуты рассуждениями. Солнце, о существовании которого знали со времен Пифагора, было идеальным телом. Следовательно, у него не могло быть недостатков. Самые стойкие логики вообще отказались смотреть на солнце в телескоп. Если разум непогрешим, то зачем полагаться на чувства? Вера тех людей была столь же велика, сколь и отсутствие у них здравого смысла.