Эрик Белл - Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Теэтет рассказывает Сократу, что они нашли желаемую классификацию, но признает, что не способен дать Сократу столь же удовлетворительный ответ по поводу знания, таким образом подтверждая постулат Платона (повторяемый в различных формах повсюду в его трудах), что философия является более основательной и сложной наукой в сравнении с математикой.

Кстати, в этом рассказе Теэтета нет ничего, что подтверждало бы вывод некоторых историков математики, будто Феодор Киренский первым доказал, что квадратный корень из 2 является иррациональным числом. Полугеометрическое доказательство Евклида (III век до н. э.) дается в книге 10, суждении 27 его «Элементов». Хотя и менее понятное, нежели современное строго арифметическое доказательство, исторически оно более значимо. Оно иллюстрирует радикальное преобразование греческой математической мысли как следствие появления иррациональных чисел. Евклид формулирует теорему: «Сторона квадрата и его диагональ не имеют никакой общей меры». «Мера» здесь самое важное слово. Если диагональ квадрата, длина стороны которого равна единице, не измерима числом (имеется в виду рациональным числом), то чем же она «измеряется»? Греческие геометры назвали это измерение «величиной» и построили теорию «измерения» величин, в которых вместо обращения за поддержкой к знакомым натуральным числам они призвали на помощь пространственную интуицию. В отличие от декларации Пифагора, что «пространство является числом», новое кредо могло бы утверждать, что «число есть пространство».

Как было упомянуто раньше, геометрия должна отталкиваться от некоторых, не поддающихся анализу, но общепринятых исходных концепций, таких как «точка» и «линия». Хотя греческий геометр и пытался объяснить, что он подразумевает под «величиной», создавать геометрию он начал как раз с примитивных исходных понятий. Он принял без доказательства, хотя и не слишком детально, что величины «одного и того же вида», например длины линий, или площади плоских фигур, или объемы твердых тел, ограниченных плоскостями, могут сравниваться с точки зрения равенства или неравенства. Таким образом, имело смысл отмечать, что одна величина больше, равна или меньше другой величины того же самого вида. Величина, содержащаяся целое число раз в другой «величине», называлась «мерой» той другой. Например, если измеряемые величины являются долями прямых линий, или, кратко, линий, линия А – мера линии В, если А можно уложить некоторое точное число раз на линию B. Если А – мера и В и C, А считается «общей мерой» для В и C. Если две величины имеют одну общую меру, они имеют любое требуемое конечное число общих мер, все из которых производные из первого. Так, например, линии длиной 10 и 12 футов имеют общую меру длиной 2 фута, и любая доля линии длиной 2 фута также является общей мерой. Но сторона и диагональ квадрата не имеют никакой общей меры. Греческие геометры говорили, что диагональ является «несоизмеримой» со стороной. Любые величины называются «несоизмеримыми», если они не имеют общей меры. Известная пара – диаметр и длина окружности круга.

Греческое решение проблемы измерения опиралось на стержневое определение «пропорции», приписываемое Евдоксу. В «Элементах» Евклида это знаменитое определение приводится пятым в пятой книге. Мы процитируем его в классическом варианте, чтобы иллюстрировать раннее свидетельство, как смутные предположения проникают незамеченными в математику, несмотря на предельную осторожность и желание не допустить этого. Сначала мы обращаем внимание, что «многократная» величина – вполне признанная и законная концепция: если «множитель» натуральное число m, m-кратное величины A получается, если отмерить число A m раз на линии достаточной длины. Если линия недостаточно длинна, ее можно увеличить – удлинить, пока ее длина не станет достаточной. Греческие геометры заметили необходимость включения (в качестве постулата) возможности удлинения линии до любой конечной длины и сделали это. Немного удивляет, что они упустили бесконечно большую нужду в объяснении понятия «то же самое отношение». «Первая из четырех величин считается имеющей «то же самое отношение» ко второй, что и третья к четвертой, когда берутся любые множители первой и третьей величины, и любые множители второй или четвертой величины, то кратная величина третьей величины больше, равна или меньше, чем кратная величина четвертой, соответственно, как и кратная величина первой больше, равна или меньше кратной величины второй величины». Это объясняет значение словосочетания «то же самое отношение» или «пропорционально», из чего появляется «пропорция» как простое вербальное определение. «Если первая из четырех величин имеет то же самое отношение ко второй, что и третья к четвертой, все четыре величины называются пропорциональными, или членами пропорции».