Эрик Белл - Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

В этом непрерывном, хотя и не слишком заметном продвижении каждая эпоха передает следующей моральное обязательство не пренебрегать задачами, решенными только частично. Пока прошлое неясно, будущее неопределенно. Две трудноразрешимые задачи двадцатипятистолетней давности все еще сопротивляются окончательному решению и остаются столь же урожайными на новые методы скрупулезного размышления, как и в тот момент, когда с ними впервые столкнулись. Одна касается значения «числа»; другая – возможности и надежности дедуктивного умозаключения. Обе ведут свое начало от оптимистичной веры пифагорейцев, что «числа» в своем первозданном виде представляют собой самый простой язык, достаточный и для математики, и для рационального описания целой вселенной. Такой подход пифагорейцев был слишком упрощенным и явно недостаточным.

Как мы видели, ранние пифагорейцы признавали, что натуральные числа 1, 2, 3… и дроби, или «отношения», полученные делением одного целого числа на другое, не могут быть использованы для измерения столь элементарной «величины», как диагональ квадрата, сторона которого взята как единица измерения по длине. На самом деле они доказали, что корень квадратный из двух не является рациональным числом. В частности, они предположили, что их первичные числа (рациональные числа) не измеряют длину всех линий. Тогда возник вопрос значения такого понятия, как «длина линии». Было ли обязательно измерять все линии числами?

Перед ними открывались три возможности. Либо за иррациональными числами (такими, как корень квадратный из двух) не признается статус «числа»; либо первоначальное понятие «числа» расширяется и оно начинает включать в себя и рациональные и иррациональные числа; либо в науке появляется нечто совершенно новое, и числа перестают коррелироваться исключительно с линиями. Греки после пифагорейцев выбрали третью возможность и на этом пути столкнулись с понятием математической бесконечности.

Чтобы рассуждать о бесконечности, им пришлось усовершенствовать дедуктивный метод. Преодолевая сложности решения отдельных задач с иррациональными числами, они по неосторожности допустили в свою логическую цепочку некоторые допущения. Эти допущения либо не замечались, либо игнорировались как не имеющие прямого отношения и несущественные для математики, пока ближе к концу XIX столетия они резко не заявили о себе в современной математике. Вот тогда-то в самых основах, на которых зиждилась вся математика начиная с XVII века, стали проявляться противоречия и парадоксы. Сначала все обнаружили несовершенное понимание математической бесконечности. Затем более тщательный анализ некоторых парадоксов бесконечности показал, что более серьезные трудности веками были скрыты в логике, которую великие математики от Древней Греции до конца XIX столетия считали отвечавшей требованиям математики и достаточной для ее развития.

На первый взгляд некоторые из этих логических упущений были странно нематематическими. Одни были того же рода, что и высказывание Эпименида Критского «о лживости критян». О других же поговорим, когда представится случай. Пока будет достаточно рассмотреть, как тщательно возделывалась почва для этой сорной травы математиками и логиками в интервале между Пифагором и Платоном.

Из трудов Платона ясно видно, насколько отчетливо он ощущал фундаментальные трудности для эпистемологии, создаваемые иррациональными числами. Борьба по их преодолению, возможно, частично послужила причиной предполагаемого отказа Платона от теории идеальных чисел. Некоторые исследователи считают, что в преклонном возрасте Платон разуверился в своем главном научном достижении – теории идеалов, убедившись если не в полной безнадежности этой теории, то в ее неосуществимости. Правда это или нет, но существенно другое. Один из величайших философов в истории счел необходимым направить основательные усилия на понимание природы чисел, в особенности иррациональных. Проблема иррациональных чисел сильно занимала Платона, и он ругал своих собратьев греков, что они все еще верят (в большинстве своем) вместе с пифагорейцами, что все «измерения» рациональны. «Кто не признает, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, – заявлял Платон, – не человек, а животное».

Примитивное сознание, по-видимому, испытывает инстинктивный ужас перед бесконечностью – беспредельной, безграничной, бескрайней – в любой из многочисленных форм, в которых бесконечность вынуждает обращать на себя внимание даже дикарей. Знакомые объекты их повседневной жизни кажутся им статичными и по существу неизменными, каждый со своей собственной, постоянно распознаваемой индивидуальностью. Дерево росло здесь, на этом самом месте, сегодня и не исчезало завтра. Оно могло считаться живым, и, без сомнения, в нем укрывался дух, но это было одно и то же дерево, а не другое каждый новый день. Но ветер был динамичным, изменяющимся от момента к моменту, он непрерывно менялся по силе и направлению. Ветер находился вне человеческой власти – «ветер веет где хочет», и его появление и его исчезновение были недоступны человеческому зрению. В некотором смысле ветер оказывался более живым, нежели камни и деревья; ведь ветер никоим образом не был ограничен ни местом, ни временем. Спустя столетия, когда люди научились свободно и без страха считать, предметы, которые были ограничены своим местом в пространстве, как галька и деревья, подчинились правилам чисел и были сосчитаны. Но ветры и непрерывно текущие воды рек и ручьев избежали владычества человека. Что позволяло им перемещаться с места на место и при этом оставаться неизменными во времени, оставалось тайной, и они не поддавались подсчету. Движение ускользало от чисел. Движение оставалось безграничным, бескрайним, бесконечным, не единицей и все-таки не множеством, как, например, горсть гальки.