Эрик Белл - Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Четыре числа, скажем m, n, r, s, связаны «пропорцией», где первое соотносится со вторым, как третье с четвертым, или на языке дробей, где дробь m: n равна дроби r: s. Следовательно, m, n, r, s состоят «в отношении», если m: n:: r: s в нашем простом примере, , есть «условия» «пропорции».

Возникает множество специальных случаев. Такие, как средние значения n, r, равны и, следовательно, r = n и m: n:: n: s, которые были очень важны для пифагорейцев, а также для греческих геометров. В этом случае n именовалось «средним геометрическим значением» между экстремальными точками n, s «среднего пропорционального значения» для n, s. Переводя все на понятный язык дробей, имеем , и, таким образом, как известно ученику начальной школы («освобождаемся от дробей»), m × s = n × n, в элементарной алгебре ms = n 2.

Следовательно, «среднее геометрическое значение» (n) двух чисел (m, s) есть корень квадратный ( ) от их результата (ms). Арифметика в тексте Платона означала именно это. Из «пропорции» незамедлительно следует, что (если обе дроби равны, результатом деления будет 1, поскольку каждая из них также равна). Это как раз то, что он говорит: m: n:: n: s, – из чего следует, что n: m:: s: n, где «среднее значение» n в первоначальной «пропорции» становится как первым, так и последним вторым числом, а первое и последнее m, s в первоначальной пропорции становятся «средними значениями» в «пропорции», вытекающей из первоначальной. Таким образом, элементарная арифметика у Платона в порядке.

Чтобы разобраться в других замаскированных арифметических расчетах философии Платона, надо вспомнить следующие дефиниции.

В последовательности чисел

1, 5, 9, 13, 17, 21

шаг между числами остается прежним – 4. Числа формируют «арифметическую прогрессию» с первым членом 1 и «разностью арифметической прогрессии» 4. Арифметическая прогрессия с начальным членом 6 и разностью 5 следующая:

6, 11, 16, 21, 26, 31…

Бросается в глаза, что 16 = 1/ 2(11 + 21), 21 = 1/ 2(16 + 26) и так далее, где каждое последующее число после первого есть половина суммы от своих правого и левого соседей. По этой причине каждое число после первого называется «средним арифметическим значением» непосредственно предшествующего числа и непосредственно последующего.

Теперь, допустим, мы делим 1 на каждое число в данной арифметической прогрессии, скажем второй сверху:

1/6, 1/ 11, 1/ 16, 1/ 21, 1/ 26, 1/ 31…

Полученная последовательность чисел называется «гармонической прогрессией», где каждое число после первого является «гармоническим средним значением» своих непосредственных соседей. В качестве примера одна из последовательностей

3/4, 1, 5/ 4, 3/ 2, 7/ 4, 2, 9/ 4…

4/3, 1, 4/ 5, 2/ 3, 4/ 7, 1/ 2, 4/ 9…

арифметическая прогрессия, а вторая – «гармоническая прогрессия».

Третьим и последним видом прогрессии, постоянно упоминающимся Платоном, является «геометрическая», в которой каждое число после первого получается путем умножения предыдущего числа на постоянный множитель. Например:

3, 6, 12, 24, 48, 96, 192…

является геометрической прогрессией с первым числом 3 и множителем, или общим коэффициентом, 2. «Среднее геометрическое значение» 6 и 24 есть число 12, расположенное между ними, среднее геометрическое значение 48 и 192 есть 96 и т. д.

Несложные алгебраические преобразования продемонстрируют, что если A, H, G соответственно арифметическое, «гармоническое» и геометрическое средние значения чисел M, N, тогда

Еще чуть-чуть, и становится очевиден простой факт, который обрадовал и ввел в заблуждение древних нумерологов, включая Платона, ведь получается, что G есть среднее геометрическое значение для A and H. В целом, похоже, греческим философам повезло, что они не знали алгебры. Теперь вся элементарная и замаскированная алгебра Платона стала настолько банальной для современных школьников, что любой математик обязан восхититься упрямой изобретательностью, которая впервые задумалась над этим пусть и устно, без математических символов любого рода. Выражение, что A/G = G/H, или A: G:: G: H, было названо пифагорейцами «совершенной пропорцией». Говорят, что его принес Пифагор в Кротон из Вавилона. Любой математик с достаточно развитым воображением в состоянии лишить себя на мгновение всей накопленной техники и задуматься над риторической арифметикой VI века до н. э. и согласиться с братством пифагорейцев, что «совершенная пропорция» не могла быть изобретением человека, а только творением лично Великого арифметика вселенной.