Эрик Белл - Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Ободренный видимым успехом с плоскими фигурами, Пифагор отважно ввязался в рискованное предприятие с геометрическими телами. В воображаемом пространстве он успешно выложил из гальки кубические числа 1, 8, 27, 64, 125… унифицированным способом, который может быть оставлен гениальному читателю, желающему открыть его вновь. И тут он застрял, потому что космос для него, как и для всех остальных греческих нумерологов и геометров, имел только три измерения. Они могли себе представить результат умножения трех чисел как объем твердого тела. Так, 3 × 4 × 10 = 120 есть объем короба со сторонами 3, 4, 10. Но умножение типа 3 × 4 × 10 × 12 сбивало их с толку в их геометрической арифметике, поскольку выражение «умножить четыре линии» лишало само действие смысла в трехмерном пространстве. Подобные искусственные барьеры просто исчезли, когда алгебра заняла место геометрии в качестве языка чисел. Но треугольные и прочие многоугольные числа пифагорейцев, а также кубические выжили, по меньшей мере как названия в современной теории чисел. Продолговатые числа исчезли из словаря давным-давно.

Наиболее значимой деталью для всей пифагорейской науки было четвертое из треугольных чисел 1, 3, 6, 10, 15, 21… Да, 10 или декада. Но при этом и треугольник, а потому – священный тетрасис. Поскольку, согласно Пифагору, все числа находятся внутри декад, становится ясно, почему десять было совершенством для остальных чисел и, согласно Платону, исконным образцом для вселенной. Становится понятен и краеугольный камень обобщений Платона, что мир создан из треугольников. Это будет подтверждено, когда 4 элемента произойдут от 4-го члена последовательности треугольных чисел, конкретно из треугольных декад. Неудивительно, что братство пифагорейцев превратило 10, действительно 4-й треугольник, в свою клятву и свой наиболее жестко охраняемый секрет. Тот, кто дал клятву на тетрасисе и нарушил ее, предавался анафеме, поскольку он предал космос, частью которого был сам, греки бы сказали пропорцией или дробью.

Хотя может показаться занимательным распутывать всю замысловатую нумерологию (в изложении Платона, в частности в «Тимее») создания и структуры материального мира, но нет необходимости это делать, чтобы понять суть идеи пифагорейской химии, физики и космогонии. Вполне вероятно, окажется достаточно уже представленных материалов, чтобы оценить ее возможности в столь типичном отрывке: «Итак, то, что было создано, обязательно телесно, а также видимо и осязаемо. Ничего не видно там, где нет огня, и осязаемое не телесно без земли. По этой причине божественное в начале создания сотворило тело мироздания из огня и земли. Но две вещи не могут существовать без третьей, у них должно быть связующее звено. Ныне прекрасная связь – это та, которая наиболее полно объединяет связанные вещи. Пропорции хорошо подобраны для поддержания этой связи. Всякий раз среди трех чисел, какой бы телесной или иной другой она ни оказалась, не имеет значения, потому что среднее значение есть последнее условие, поскольку на первом плане – среднее значение, а когда значение есть наипервейшее условие, то и последнее условие приобретает среднее значение, и оно становится и первым, и последним, а первое и последнее становятся значимыми, все вещи по необходимости приходят к одному знаменателю, поскольку они едины и стремятся слиться воедино».

Нет сомнений, что это список с утерянной «библии» Пифагора от Филолая, поскольку это чистейший пифагореизм. Чтобы понять, о чем идет речь, следует воспользоваться помощью перевода с запутанного языка на более простой эквивалент в терминах простейшей арифметики. В действительности отрывок относится к банальным конкретным свойствам банальных дробей. До некоторой степени запутанная арифметика нам понятна. Но она была совсем не так понятна пифагорейцам V века до н. э. или даже греческим математикам времен Платона, никто из которых не владел умением толково записывать дроби. Смешно, но для гимназиста XVIII века этот невразумительный отрывок яснее, чем для выпускника колледжа наших дней.

За исключением старомодных учебников, редко встретишь «соотношения» и «пропорции» в современных научных трудах. «Соотношение» числа m к числу n записывается как m/n или . Если соотношение m: n равно соотношению r: s, в античные времена записали бы m:: n:: r: s; а в наши дни или m/n = r/s. Даже использование старой манеры записи понять много легче, чем то, что использовали пифагорейцы и их греческие последователи. Они не имели столь выразительных математических символов, как у нас, а все описывали словами, как в предыдущем отрывке у Платона. «Существенными деталями являются «пропорция» и «среднее значение».