Марио Ливио - φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания

В городе Беджаи в Алжире Фибоначчи познакомился с искусством записи при помощи девяти индийских цифр – вероятно, как он сам выразился, под «блестящим руководством» наставника-араба. Затем Фибоначчи объехал все Средиземноморье, где еще сильнее расширил свой математический кругозор, после чего и решил опубликовать книгу, при помощи которой надеялся шире внедрить индо-арабские цифры в коммерческий обиход. В этой книге Фибоначчи скрупулезно объясняет, как переводить римские числа в новую систему и как производить арифметические операции с новыми цифрами. Он приводит многочисленные примеры, где демонстрируется применение «новой математики» для решения самых разных задач – от коммерческих сделок и заполнения и опорожнения резервуаров до движения судов. В начале книги Фибоначчи счел нужным извиниться перед читателем: «Если я случайно упустил что-то более или менее нужное или относящееся к делу, прошу простить меня, поскольку у всех есть недостатки и невозможно все предусмотреть».

Во многих случаях Фибоначчи давал не одно решение задачи, а несколько и проявлял невероятную гибкость и находчивость при выборе нескольких методов решения. Кроме всего прочего, его алгебра во многом риторична: он объясняет решение словами, а не решает уравнения, как сделали бы мы в наши дни. Приведу прелестный пример одной из задач из « Liber abaci » – «Книги счетов» (в том виде, в каком она приведена в чудесной книге Джозефа и Фрэнсис Гиз «Леонардо из Пизы и новая математика Средневековья» – Joseph and Frances Gies . Leonard of Pisa and the New Mathematics of the Middle Ages):

Некий человек, почувствовав, что дни его сочтены, призвал к себе сыновей и сказал: «Поделите мои деньги так, как я скажу». Старшему сыну он сказал: «Тебе причитается 1 безант [золотая монета, чеканившаяся в Византии] и седьмая часть остатка». Второму сыну он сказал: «Возьми 2 безанта и седьмую часть остатка». Третьему сыну он сказал: «Тебе полагается 3 безанта и седьмая часть остатка». После этого он дал каждому сыну на 1 безант больше, чем предыдущему, и седьмую часть оставшихся денег, а последнему – все, что осталось. Тщательно исполнив отцовские распоряжения, сыновья обнаружили, что он разделил свое наследство поровну. Сколько было сыновей и какое было наследство?

Заинтересованный читатель найдет и алгебраическое (современное) решение этой задачи, и риторическое решение Фибоначчи в Приложении 6.

Книга « Liber abaci » снискала Фибоначчи значительную известность, и слава о нем дошла до ушей императора Священной Римской империи Фредерика II по прозвищу « Stupor Mundi » («Всемирное диво») за покровительство математике и естественным наукам. Фибоначчи пригласили предстать перед императором в Пизе в начале 1220 годов, где один из придворных математиков Иоганн Палермский задал ему целый ряд математических задач – как полагали, очень трудных. Одна из задач гласила: «Найти рациональное число [то есть целое число или дробь], такое, что если из его квадрата вычесть 5 или прибавить к его квадрату 5, получатся также квадраты рациональных чисел». Фибоначчи решил все эти задачи весьма изобретательными методами. Затем он описал две из них в короткой книге под названием « Flos » («Цветок»), а вышеуказанную привел в прологе к книге « Liber quadratorum » («Книга квадратов»), которую посвятил императору. Сегодня мы не можем не восхищаться, что Фибоначчи сумел найти решение вышеуказанной задачи безо всяких компьютеров и калькуляторов, а просто благодаря виртуозному владению теорией чисел: 41/12. И в самом деле, (41/12) 2 + 5 = (49/12) 2, а (41/12) 2 – 5 = (31/12) 2.

Роль Фибоначчи в истории золотого сечения поистине поражает. С одной стороны, в задачах, где он сознательно прибегает к золотому сечению, он добивается значительного прогресса – пусть и не поразительного. С другой – он сформулировал задачу, которая на первый взгляд не имеет к золотому сечению никакого отношения, однако благодаря этой задаче Фибоначчи радикально расширил сферу применения золотого сечения и углубил его понимание.

Непосредственный вклад в литературу о золотом сечении Фибоначчи сделал своей короткой книгой о геометрии « Practica Geometriae » («Практика геометрии»), которая вышла в свет в 1225 году. Там ученый представил новые способы вычисления диагонали и площади правильного пятиугольника, формулы для вычисления длин сторон правильного пятиугольника и правильного десятиугольника по диаметру окружностей, описанных вокруг них и вписанных в них, и формулы для вычисления объемов додекаэдра и икосаэдра, и все это тесно связано с золотым сечением. В решениях этих задач Фибоначчи проявляет глубочайшее понимание евклидовой геометрии. Хотя его математические приемы до определенной степени опираются на работы предшественников, в особенности на труд Абу Камила «О пятиугольнике и десятиугольнике», не приходится сомневаться, что Фибоначчи вывел на новый уровень применение свойств золотого сечения при решении различных геометрических задач. Однако величайшую славу Фибоначчи принесла невинная на вид задача из « Liber abaci », которая и стала главным вкладом ученого в исследования золотого сечения.