Марио Ливио - φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания

х 1 = (1 + √5) /2

х 2 = (1 – √5) /2.

Положительный корень х 1 = (1 + √5)/2 = 1,6180339887… и дает нам значение золотого сечения. Теперь очевидно, что число φ – иррациональное, поскольку представляет собой половину суммы 1 + √5. Тут можно сразу заподозрить, что у этого числа есть интересные свойства; для этого нам понадобится простой карманный калькулятор. Введите число 1,6180339887 и нажмите клавишу [ х 2]. Ну как, ничего удивительного не замечаете? Теперь снова введите то же самое число и на сей раз нажмите клавишу [1/ х ]. Поразительно, правда? Квадрат числа 1,6180339887… дает 2,6180339887…, его обратное число («один к х ») равно 0,6180339887… – знаки после запятой полностью совпадают! Золотое сечение обладает уникальными свойствами – чтобы получить его квадрат, достаточно прибавить к нему 1, а чтобы получить число, ему обратное, – вычесть 1. Кстати, отрицательный корень уравнения х 2 = (1 – √5)/2 равен в точности –1/φ.

Пол С. Брукманс из города Конкорд в штате Калифорния в 1977 году опубликовал в журнале « Fibonacci Quarterly » забавный стишок под названием « Constantly Mean », что можно перевести и как «Постоянное Среднее» (здесь он называет золотое сечение золотым средним):

Итак, мы получили алгебраическое выражение золотого сечения и теперь можем, в принципе, вычислить его с высокой точностью. Именно это и проделал М. Берг в 1966 году, когда он за 20 минут на большом компьютере IBM 1401 вычислил число φ с точностью до 4599 знака после запятой (результат был опубликован в « Fibonacci Quarterly »). Сегодня можно проделать то же самое практически на любом персональном компьютере меньше чем за две секунды. Более того, в декабре 1996 года золотое сечение было вычислено до десятимиллионного знака после запятой, и ушло на это около получаса. Для подлинных любителей интересных чисел на следующем развороте приведено значение числа φ до 2000 знака после запятой (справа для удобства – указаны номера десятичных позиций).

Конечно, все вышеприведенные свойства числа φ весьма интересны, однако читатель вправе решить, что они едва ли оправдывают звание «золотого» или «божественного» числа – и будет, конечно, прав. Однако пока что мы лишь стоим на пороге поразительных чудес.

Всем знакомо это восхитительное чувство, когда мы приходим на вечеринку, где, как мы были твердо убеждены, никого не знаем, и вдруг узнаем лицо старого друга. Такой же наплыв эмоций возникает, когда на выставке сворачиваешь за угол и вдруг видишь свою любимую картину. Близкие устраивают нам приятные сюрпризы именно потому, что нежданная радость многим из нас приносит колоссальное удовольствие. А у математики и, в частности, у золотого сечения в запасе полным-полно сюрпризов.

Представьте себе, что мы хотим вычислить значение вот такого необычного выражения, состоящего из бесконечного числа квадратных корней:

Как тут вообще подступиться к ответу? Есть один довольно-таки громоздкий метод: сначала вычислить, что даст нам √2=1,414…, затем вычислить и т. д., уповая на то, что рано или поздно значения начнут быстро сходиться к какому-то числу. Но ведь, возможно, есть и другой метод вычисления, проще и изящнее. Обозначим искомую величину х . Тогда у нас получается

Теперь возведем в квадрат обе части равенства. В левой получим х 2, а при возведении в квадрат правой части мы просто уберем тот квадратный корень, под которым стоит все выражение (по определению квадратного корня), и получим