Марио Ливио - φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания

Рис. 24

Давайте при помощи самой простой геометрии изучим определение Евклида и поймем, почему золотое сечение играет такую важную роль в построении пятиугольника. На рис. 24 изображен отрезок АВ, разделенный на две части точкой С. Евклидово определение из книги IV, где говорится о крайнем и среднем отношении, означает, в сущности, что (длинная часть) / (короткая часть) = (целый отрезок/длинная часть). Иначе говоря, на рис. 24:

AC / CB = AB / AC

Так как же подобное деление отрезка связано с пятиугольником? У любой правильной плоской фигуры (то есть с равными сторонами и внутренними углами, такие фигуры еще называют правильными многоугольниками) сумма углов равна 180 × ( n –2), где n – число сторон. Например, у треугольника n = 3, и сумма всех углов равна 180 градусам. У правильного пятиугольника n = 5, и сумма всех углов, следовательно, равна 540 градусов. Значит, каждый угол правильного пятиугольника равен 540/5 = 108 градусов. А теперь представим себе, что мы проводим из одного угла пятиугольника две диагонали, как на рис. 25, а , и у нас получается три равнобедренных треугольника. Поскольку два угла при основании любого равнобедренного треугольника равны, углы при основании треугольников по бокам равны 36 градусов каждый: (180–108)/2.

Рис. 25

Поэтому получается, что углы среднего треугольника равны 36–72–72, как помечено на рис. 25, а . Если разделить любой из 72-градусных углов при основании треугольника (как на рис. 25, b ) биссектрисой, получится маленький треугольник DBC с такими же углами (36–72–72), как и большой треугольник ADB . При помощи самой элементарной геометрии мы можем показать, что по определению Евклида точка С делит сторону АВ в золотом сечении. Более того, отношение AD к DB также равно золотому сечению (краткое доказательство приводится в Приложении 4). Иначе говоря, отношение длины диагонали к длине стороны у правильного пятиугольника равно числу φ. Этот факт показывает, что умение разделить отрезок в золотом сечении дает нам еще и простой способ построить правильный пятиугольник. Необходимость построить правильный пятиугольник и была главной причиной интереса древных греков к золотому сечению. Треугольник, который на рис. 25, а находится в середине – с отношением стороны к основанию, равным φ – известен также как золотой треугольник , а два треугольника по сторонам от него, у которых отношение стороны к основанию равно 1/φ, называют иногда золотыми гномонами . Рис. 26 иллюстрирует уникальное свойство золотых треугольников и золотых гномонов: их можно рассекать на треугольники поменьше, которые также будут представлять собой золотые треугольники и золотые гномоны.

Связь золотого сечения с правильными пятиугольниками, пятисторонняя симметрия и платоновы тела представляют интерес сами по себе, и их, конечно, было бы более чем достаточно, чтобы возбудить любознательность древних греков. Пифагорейцы были прямо-таки очарованы правильным пятиугольником и пентаграммой, а Платон пристально интересовался правильными многогранниками и был убежден, что они служат отражением фундаментальных вселенских сущностей; поэтому поколения математиков, не покладая рук, трудились над формулировкой многочисленных теорем, имеющих отношение к φ. Однако золотое сечение никогда не заняло бы такого видного места и не снискало бы почтения на грани поклонения, если бы не некоторые его алгебраические свойства, поистине уникальные. Но чтобы понять, каковы эти свойства, нам нужно сначала точно вычислить значение φ.

Снова рассмотрим рис. 24; возьмем длину короткой части СВ за единицу, а длину длинной части АС за х единиц. Если отношение х к 1 таково же, как ( х +1) – то есть длины отрезка АВ – к х , значит, отрезок разделен в крайнем и среднем отношении. Мы можем легко найти значение x в золотом сечении. По определению крайнего и среднего отношения

х/ 1 = ( х + 1) / x.

Умножим обе части на х ; тогда у нас получится х 2 = х + 1, или простое квадратное уравнение

х 2 – х – 1 = 0.

Если вы вдруг подзабыли, как решать квадратные уравнения, в Приложении 5 приведена краткая памятка. Два корня уравнения золотого сечения равны