Калеб Шарф - Ошибка Коперника. Загадка жизни во Вселенной

Так вот, представьте себе, что вы небрежно бросаете на бильярдный стол красный шар, который катится себе случайным образом и может остановиться в любом месте. Итак, красный шар остановился в каком-то месте, вы его не трогаете, несколько раз прокатываете по столу в том же направлении белый шар и записываете, как часто он останавливается дальше красного шара. Затем Байес, опираясь на то, где останавливались шары на воображаемом столе, предложил вывести математически обоснованный ответ на следующую простую задачку: если вы знаете, что произошло с теми шарами, которые вы уже прокатили по столу, можно ли предсказать, с какой вероятностью следующий белый шар остановится до или после красного (каковы шансы на тот или иной результат)? Байес показал, что можно. Главное – чем больше прокатишь шаров, тем сильнее будет уверенность в результате следующего броска, в точности как у петушка и Солнца.

Мысленный эксперимент с бильярдными шарами очень прост, однако многое говорит о том, насколько фундаментальным был вопрос вероятностей для математики XVIII века. До того времени никто не разобрался, как проделать необходимые выкладки, а концепции, которые легли в основу работы с неопределенностью, были всем в новинку и даже пугали. Байес двигался к формулировке теоремы, которая впоследствии получила его имя – теоремы, при помощи которой можно было вычислить, насколько человек «верит» в гипотезу перед лицом свидетельств, как правдоподобие в чьих-то глазах или уверенность в чем-то связаны с тем, что то или иное утверждение верно.

Чтобы вам легче было понять смысл теоремы и разобраться, как можно применить ее к нашему вопросу о жизни во Вселенной, приведу чуть более красочный и сложный пример, чем восходы и бильярдные шары. Представьте себе, что у меня есть любопытная гипотеза, что 20 % популяции котов на планете составляют чеширские коты [176] Что именно вдохновило Льюиса Кэролла на создание этих культовых животных (или по крайней мере одного), осталось неизвестным. Гипотез множество – от геральдических львов и церковных горгулий до сказок о всем довольных, напившихся молока котах из английского графства Чешир. . Само собой, чтобы проверить свою гипотезу, я должен пойти и найти какое-то количество котов, выявить среди них чеширских и не-чеширских и посчитать, сколько их. Эта задача не то чтобы разительно отличается от поиска признаков инопланетной жизни – обитаемых и необитаемых планет.

Разумеется, посчитать котов – дело непростое, легко сказать, да трудно сделать. Я мечусь впотьмах, мне не на что опереться, никакой предварительной информации у меня нет. Прежде всего, если я не готов поймать и рассортировать огромное количество котов, распределение результатов у меня неизбежно будет случайным. Если я схвачу и запихну в мешок десять первых попавшихся котов на улице и выясню, что два из них – чеширские, то никак не смогу с уверенностью сказать, что это подтверждает мою гипотезу о 20 % чеширских котов на планете, поскольку выборка будет случайной и из небольшого количества котов, а следовательно, погрешность у моего эксперимента будет очень велика.

Значит, нужно выстроить несколько более хитроумную теорию о количестве чеширских котов и учесть кое-какие ожидания о распространенности (или вариациях) случайно выбранных групп котов. В сущности, нужно, чтобы погрешность можно было предсказать, чтобы я мог заранее представить себе, как должны будут выглядеть мои измерения, если моя гипотеза верна. Мало того что случайная выборка чревата осложнениями, есть еще и вопрос систематической погрешности, вызванной изначальными условиями. Может быть, чеширские коты, в принципе толстые и неповоротливые, легче ловятся, и поэтому я их больше насчитаю. Может быть, моя гипотеза относительно чеширских котов в принципе ошибочна (а такое совсем не исключено, если учесть, что чеширские коты чуть что становятся невидимыми). Однако я вполне мог убедить себя, что она верна, если по воле судьбы в моей случайной выборке оказалось нужное число улыбающихся котов, которых я принял за чеширских.

Так что вероятность того, что моя гипотеза чеширских котов верна, сама по себе равна математической комбинации каких-то других вероятностей, с ней связанных. Прежде всего это вероятность получить конкретный результат измерений с учетом этой гипотезы. Звучит немного странно, однако это означает, что если модель или гипотеза верна, вы вправе ожидать, что подсчет котов принесет определенные результаты. Например, я мог бы определить вполне конкретную вероятность того, что в моей случайной выборке из 10 пойманных котов я насчитаю 1, 2, 3 или любое другое число чеширских.