Gustavo Pineiro - Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике.

Поскольку для одного числа не нашлось соответствия, наш пример взаимно однозначного соответствия между множествами натуральных и вещественных чисел является неправильным. Любая другая попытка закончится неудачей по этой же причине, следовательно, между рассматриваемыми множествами нет взаимно однозначного соответствия.

Если немного изменить этот ход рассуждений, можно доказать, что множество чисел, содержащихся в любом, даже самом маленьком отрезке числовой оси, не эквивалентно множеству натуральных чисел. Множество вещественных чисел (или чисел одного отрезка оси) нельзя представить в виде последовательности, как в 1874 году заявил Кантор. Надо заметить, что доказательство, приведенное Кантором, было не совсем таким. Диагональный метод был описан лишь в 1892 году в статье Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre («Об одном элементарном вопросе учения о многообразиях»).

В статье 1874 года Кантор не говорил ни о целых, ни о рациональных числах. Он доказал, что вещественные числа не могут быть представлены как последовательность, и рассмотрел еще одно множество — множество алгебраических чисел.

Обратимся к древней и очень известной задаче о квадратуре круга, впервые сформулированной древнегреческими геометрами в V веке до н.э. Она состоит в том, чтобы при помощи линейки без делений и циркуля построить квадрат с той же площадью, как у заданной окружности.

Линейка в те времена была обычным прямоугольником для рисования отрезков, на ней не было никаких делений. Ограничительные условия этой задачи свойственны всей древнегреческой геометрии, и происходили они от элитарного представления о науке: измерениями занимались «низшие классы» — купцы и ремесленники, — а геометры и философы работали с идеальными фигурами и понятиями, не опускаясь до «второстепенного» и используя инструменты, годные для создания «чистых» фигур (прямых и окружностей) без их измерения.

В течение веков было сделано множество попыток получить квадратуру круга, но ни одна из них не увенчалась успехом. Никто не был в состоянии найти решение этой задачи; с другой стороны, не было доказано, что решение невозможно.

Если r — это радиус окружности, то ее площадь рассчитывается как πr 2. Пусть вас не удивляет, что число π связано с этой задачей. Действительно, мы можем доказать, что задача вычислить квадратуру круга эквивалентна другой: взяв за единицу измерения любой отрезок, построить при помощи линейки без делений другой отрезок, длина которого равнялась бы π раз этой единице. Другими словами, построить отрезок длины π.

То, что эти задачи эквивалентны, означает: если допустимо построить отрезок длины π, то можно построить и квадратуру круга, и наоборот. Если же одно из этих построений неосуществимо, то неосуществимо и другое. Первый важный шаг в решении этой задачи был сделан в XVIII веке, когда доказали, что для того чтобы построить отрезок с помощью линейки и циркуля, его длина должна соответствовать алгебраическому числу. Точное определение алгебраического числа слишком сложное, достаточно сказать, что таким называется число, являющееся решением уравнения определенного типа (такого, в котором задействованы целые числа). К тому же не все алгебраические числа могут быть найдены с помощью циркуля и линейки, а только отвечающие определенным требованиям.

Числа, не являющиеся алгебраическими, получили название «трансцендентных». В начале XIX века этот термин считался сугубо теоретическим, поскольку хотя и было известно, что все рациональные числа являются алгебраическими (как и некоторые иррациональные, например √2), существование трансцендентных чисел еще не стало фактом. В частности, предстояло установить, является π алгебраическим или трансцендентным числом.

Первое трансцендентное число нашел французский математик Жозеф Лиувилль (1809-1882) в 1844 году. Сейчас его называют постоянной Лиувилля. Оно начинается с 0,11000100 0000000000000001000... (первая 1 стоит на первом месте после запятой, вторая на месте 1-2 = 2, третья на месте 1 · 2 · 3 = 6 и так далее). Лиувилль обнаружил также еще несколько трансцендентных чисел, похожих на это. В 1873 году другой математик, Шарль Эрмит (1822-1901), открыл, что трансцендентным является число е (основание натуральных логарифмов).

В статье 1874 года Кантор тоже внес большой вклад в эту область, косвенно доказав, что любой отрезок числовой оси содержит бесконечное количество трансцендентных чисел.