Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Важное свойство последовательности Фибоначчи состоит в том, что она рекуррентная , — то есть каждый новый член порождается предыдущими. Это же помогает понять, почему числа Фибоначчи настолько распространены в природе. Многие живые организмы растут, следуя рекуррентному процессу.

Последовательность Фибоначчи не только описывает формирование плодов и процесс безостановочного размножения кроликов, но и обладает разнообразными увлекательными математическими свойствами. Закономерность будет легче увидеть, если мы выпишем первые 20 чисел. Каждое число Фибоначчи традиционно записывается с использованием буквы F, снабженной нижним индексом, который обозначает положение данного числа в последовательности:

При более близком рассмотрении удается заметить, что наша последовательность воспроизводит саму себя многими и весьма неожиданными способами. Взглянем на числа F 3, F 6, F 9— другими словами, на каждое третье F -число. Все они делятся на 2. А числа F 4, F 8, F 12— то есть каждое четвертое F -число — делятся на 3. Каждое пятое F -число делится на 5, каждое шестое F -число делится на 8, и каждое седьмое — на 13. Эти делители в точности являются F -числами из самой последовательности.

Другой впечатляющий пример получается при вычислении 1/ F 11 , то есть 1/ 89. Это число равно сумме чисел

0,0

0,01

0,001

0,0002

0,00003

0,000005

0,0000008

0,00000013

0,000000021

0,0000000034

Таким образом, здесь снова высовывает голову последовательность Фибоначчи [51] Надо продолжать складывать. Сумма одних лишь указанных чисел отличается от 1 / 89 на 6,561797754461862… × 10 -10 . Прибавление еще двух слагаемых, 0,00000000055 и 0,000000000089, приближает к 1 / 89 уже на 1,7179774963738126… × 10 -11 . ( Примеч. перев. ) .

А вот другое интересное математическое свойство этого ряда. Возьмем любые три последовательных F -числа. Произведение первого на третье всегда на 1 отличается от квадрата второго числа.

Для F 4, F 5, F 6 имеем F 4 × F 6 = F 5 × F 5 - 1 (24 = 25 - 1).

Для F 5, F 6, F 7 имеем F 5 × F 7 = F 6 × F 6 +1 (65 = 64 + 1).

Для F 18, F 19, F 20: F 18 × F 20 = F 19 × F 19 - 1 (17 480 760 = 17 480 761 - 1).

Это свойство лежит в основе магического фокуса возрастом в несколько сотен лет. Фокус состоит в том, что квадрат, состоящий из 64 единичных квадратов, можно разрезать на четыре куска так, что, сложив их по-другому, мы получим прямоугольник из 65 единичных квадратов. Вот как это делается: нарисуем квадрат, составленный из 64 маленьких квадратиков. Сторона большого квадрата имеет длину 8. В последовательности Фибоначчи два F -числа, идущие перед 8, — это 5 и 3. Разделим большой квадрат на куски, используя длины 5 и 3. Куски можно сложить по-другому в прямоугольник со сторонами длиной 5 и 13, и площадь этого прямоугольника равна 65:

Разгадка фокуса состоит в том, что после изменения конфигурации куски не точно прилегают друг к другу. Хотя этого и не видно сразу невооруженным глазом, на самом деле имеется тонкий длинный зазор вдоль средней диагонали, и площадь этого зазора равна площади одного маленького квадратика.

В начале XVII столетия немецкий астроном Иоганн Кеплер писал, что «как 5 относится к 8, так же, примерно, 8 относится к 13, и как 8 относится к 13, так же, примерно, 13 относится к 21». Другими словами, он обратил внимание, что отношения последовательных F-чисел близки друг к другу. Столетие спустя шотландский математик Роберт Симсон усмотрел нечто еще более невероятное. Если взять отношения последовательных F-чисел и расположить их в последовательность