Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Листья растений располагаются вокруг стебля так, чтобы количество солнечного света, падающего на каждый из листьев, было максимально. Именно поэтому они не растут в точности друг над другом, иначе те, что снизу, света не получали бы вовсе.

По мере роста стебля каждый новый лист появляется под фиксированным углом относительно предыдущего листа. Это угол, при котором количество солнечного света максимально. Он не равен 180 градусам (половине полного оборота), потому что тогда третий лист окажется в точности над первым. Не равен он и 90 градусам (четверти полного оборота), поскольку тогда пятый лист оказался бы ровно над первым, а кроме того, первые три листа использовали бы только одну сторону стебля, что было бы недопустимой растратой солнечного света, падающего на другую сторону. Оказывается, угол, обеспечивающий наилучшее расположение листьев, — 137,5 градуса.

На рисунке показано, как располагаются листья, если каждый следующий лист растет повернутым под данным углом по отношению к предыдущему. Первые три листа расположены на достаточном угловом удалении друг от друга. Следующие два (листья четыре и пять) разнесены на более чем 50 градусов относительно ближайших к ним листьев — такой угол все еще оставляет им достаточно места. Шестой лист повернут на 32,5 градуса относительно первого. Это меньшее угловое расстояние, чем было между предыдущими листьями, что, конечно, неизбежно, поскольку появляются все новые листья, но тем не менее имеющийся угловой разнос по-прежнему достаточно широк.

Как листья обвивают стебель по спирали

Угол 137,5 градуса известен как золотой угол. Это тот угол, который получается, когда мы делим угол 360 градусов на два угла так, что отношение большего угла к меньшему равно фи, то есть 1,618. Получаемые два угла составляют 222,5 градуса и 137,5 градуса (с точностью до одного знака после запятой). Меньший из двух и есть золотой угол.

С математической точки зрения причина, по которой золотой угол обеспечивает наилучшую организацию расположения листьев вокруг ствола, связана с концепцией иррациональных чисел — то есть таких чисел, которые невозможно выразить в виде дроби. Если некий угол равен иррациональному числу, то сколько бы оборотов мы ни делали вокруг окружности, мы никогда не вернемся к начальному положению. Перефразируя Оруэлла, можно сказать, что некоторые иррациональные числа более иррациональны, чем другие. И ни одно число не является более иррациональным, чем золотое сечение. (Краткое объяснение дается в приложении 6 на сайте, посвященном данной книге.)

Золотой угол объясняет, почему на стебле растения, как правило, число листьев и число оборотов, после которого лист прорастает более или менее точно над первым, дается одним из чисел Фибоначчи. Например, у роз 5 листьев на каждые 2 оборота, у астр — 8 листьев на каждые 3 оборота, а миндальные деревья имеют 13 листьев на каждые 5 оборотов. Числа Фибоначчи возникают здесь потому, что они дают наилучшее приближение к золотому углу среди углов, выраженных в виде отношения целых чисел. Если растение выпускает 8 листьев на каждые 3 оборота, то каждый следующий лист прорастает через 3/ 8оборота, что соответствует 135 градусам — очень хорошее приближение к золотому углу.

Но самым поразительным образом уникальные свойства золотого угла проявляются в расположении семян. Представим себе, что семена сначала возникают в центре цветка, и далее ряды следуют, заворачиваясь под фиксированным углом. Новые семена выталкивают старые все дальше и дальше от центра. На рисунке показаны различные расположения семян, возникающие при различных величинах этого угла: немного меньше золотого, в точности равный ему и чуть-чуть больше.

Неожиданным здесь оказывается то, сколь малое изменение угла влечет колоссальное изменение в расположении семян. Если угол в точности равен золотому, соцветие подсолнуха представляет собой завораживающий узор из взаимопроникающих логарифмических спиралей. Это самое компактное из всех возможных расположений. Природа выбирает золотой угол из-за этой компактности — семена располагаются очень тесно друг к другу, и весь организм от этого становится сильнее.

В конце XIX столетия немецкий философ и поэт Адольф Цейзинг (1810–1876) самым настойчивым образом продвигал идею о том, что золотая пропорция представляет собой воплощение красоты, — он писал, что золотое сечение — это универсальный закон, «который, как высший духовный идеал, пронизывает все структуры, формы и пропорции, будь они космические или индивидуальные, органические или неорганические, акустические или оптические, и при этом он находит свое высшее воплощение в человеке». Цейзинг был первым, кто заявил, что фасад Парфенона имеет форму золотого прямоугольника. В действительности нет документальных свидетельств, что те, кто отвечал за сей архитектурный проект (а среди них был скульптор Фидий), использовали золотое сечение. Более того, если приглядеться, то золотой прямоугольник не вполне точно подходит к фасаду — края цоколя выступают наружу. И тем не менее именно имя строителя Парфенона Фидия около 1909 года побудило американского математика Марка Барра обозначить золотое сечение буквой φ.