Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Число, логарифм которого равен 3,741, есть 5518. Это опять же можно выяснить, воспользовавшись таблицами логарифмов.

Итак, 89 × 62 = 5518.

Существенный момент состоит в том, что единственное вычисление, которое нам пришлось сделать, чтобы узнать результат умножения, состояло в простом сложении.

Логарифмы, писал Непер, способны освободить математиков от «тяжелых затрат времени» и «ошибок, закрадывающихся при выполнении умножения, деления и извлечения квадратных и кубических корней из больших чисел». С появлением изобретения Непера оказалось возможным не только свести умножение чисел к сложению их логарифмов. Деление чисел превратилось в вычитание их логарифмов, вычисление квадратного корня стало делением на два, а вычисление кубического корня — делением на три.

Удобства, предоставляемые логарифмами, сделали их самым значительным математическим изобретением XVII века. Наука, торговля и промышленность получили от них колоссальную пользу. Например, немецкий астроном Иоганн Кеплер, используя логарифмы, почти мгновенно вычислил орбиту Марса. Не так давно высказывалось мнение, что он, возможно, никогда не пришел бы к открытию своих трех законов небесной механики без упрощения вычислений за счет использования неперовских логарифмов.

В написанной в 1614 году книге «Описание восхитительных таблиц логарифмов» Непер использовал вариант логарифмов, слегка отличный от того, каким пользуются в современной математике. Логарифмы можно выражать как степень любого числа, которое называется в этом случае основанием. Система Непера основывалась на неоправданно сложном основании 1 - 10 -7(после чего он умножал на 10 7). Генри Бриггс — современник Непера и ведущий английский математик того времени — приехал в Эдинбург, чтобы поздравить шотландца с его открытием. Бриггс пошел дальше Непера и упростил систему, введя логарифмы по основанию десять — они стали известны как логарифмы Бриггса, или просто десятичные логарифмы, и именно они приобрели самое широкое распространение. (В данной главе под «логарифмами» я понимаю именно десятичные логарифмы.) В 1617 году Бриггс опубликовал таблицы логарифмов всех чисел от 1 до 1000 с точностью в восемь десятичных разрядов. К 1628 году Бриггс и голландский математик Адриан Флакк расширили таблицы логарифмов до 100 000 с точностью в десять десятичных разрядов. Проведенные ими вычисления требовали упорного численного счета — при том, что после единственной ошибки в вычислении его надо было начинать сначала.

Если нанести числа от 1 до 10 на линейку, расположив их в соответствии со значениями их логарифмов, то получится приведенная ниже картина, которую можно продолжить, скажем, до 100:

Получилась так называемая логарифмическая шкала. В этом масштабе числа по мере их возрастания располагаются все ближе и ближе друг к другу.

Некоторые измерительные шкалы являются логарифмическими — каждый шаг от одного значения к следующему на такой шкале представляет десятикратное увеличение соответствующего значения. Самая широко применяемая из них — это шкала Рихтера, по которой измеряются амплитуды волн, записанных сейсмографом. Землетрясение в 7 баллов по шкале Рихтера означает амплитуду колебаний в десять раз большую, чем для землетрясения в 6 баллов.

В 1620 году английский математик Эдмунд Гантер впервые нанес логарифмическую шкалу на линейку. Он заметил, что использование пары циркулей и его логарифмической линейки позволяет умножать числа, не обращаясь к таблицам логарифмов; если циркуль установлен на значении 1 слева и на значении а справа, то при переносе левой иглы циркуля в любое число b окажется, что правая игла стоит на числе а × b. На рисунке показан циркуль, поставленный на 2, а затем перенесенный так, что его левая игла стоит на 3; правая при этом оказывается на отметке 2 × 3 = 6.

Гантеровское умножение 2 × 3 = 6

Прошло немного времени, и англиканский священник Уильям Отред усовершенствовал идею Гантера. Он отказался от циркуля, предложив вместо этого использовать две деревянные линейки с нанесенными на них логарифмическими шкалами, скользящие одна вдоль другой, — получилась «логарифмическая линейка». Это вычислительное устройство поистине фантастическое по своей гениальности, и несмотря на то, что в наши дни оно выглядит пережитком прошлого, у него есть свои истовые поклонники. К одному из них — Питеру Хоппу — я заехал в гости в его родной городок в 40 милях от Лондона. «Между 1700-ми годами и 1975 годом все без исключения инновации в технике совершались с помощью логарифмической линейки», — сказал он мне, встречая меня на станции. Хопп — инженер-электрик на пенсии — необычайно любезный человек с клочковатыми бровями, голубыми глазами и роскошными бакенбардами. Он показал мне свою коллекцию логарифмических линеек, одну из самых больших в мире, содержащую более тысячи этих позабытых героев нашего научного прошлого. По дороге к его дому мы обсуждали с ним коллекционирование. Хопп заметил, что все самое лучшее продается на интернет-аукционах, и конкуренция приводит к взвинчиванию цен. А редкая логарифмическая линейка, сказал он, легко может стоить более тысячи долларов.