Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Бесконечность — это одна из самых головоломных концепций в математике. Мы уже видели ранее, при обсуждении парадоксов Зенона, что попытка представить себе бесконечное число все уменьшающихся расстояний полна математических и философских ловушек. Греки изо всех сил старались избегать бесконечностей. Евклид выражал идеи математической бесконечности через отрицательные утверждения. Например, его доказательство того, что имеется бесконечное число простых чисел, есть по существу доказательство отсутствия самого большого простого числа. Древние стеснительно избегали обращаться с бесконечностью как с самодостаточной концепцией, и именно поэтому бесконечный ряд, неизменно присутствующий во всех парадоксах Зенона, до такой степени ставил их в тупик.

К XVII столетию математики возжелали освоить операции, включающие бесконечно много шагов. Работы Джона Уоллеса, который в 1655 году ввел символ ∞ для бесконечности, чтобы использовать его в своей работе о бесконечно малых, расчистил дорогу для математического анализа Исаака Ньютона. Открытие полезных соотношений, включающих в себя бесконечное число членов, например, π /4 = 1 - 1/ 3+ 1/ 5- 1/ 7+ …, показало, что бесконечность не так уж враждебна, и тем не менее ученые все равно относились к ней с осмотрительностью и подозрением. В 1831 году Гаусс проявил житейскую мудрость, заметив, что бесконечность — это «просто способ говорить» о пределе, который никогда не достигается, просто идея, выражающая потенцию продолжать действия бесконечно. Канторова же ересь состояла в рассмотрении бесконечности как вещи в себе.

Причина, по которой математиков до Кантора нервировало отношение к бесконечности как к любому другому числу, состояла в том, что здесь скрывалось множество головоломок, о самой знаменитой из которых Галилей писал в «Двух новых науках» и которая известна как парадокс Галилея:

1. Некоторые числа являются полными квадратами, такими как 1, 4, 9 и 16, а некоторые — не являются полными квадратами, например 2, 3, 5, 6, 7 и т. д.

2. Общее количество чисел должно быть больше количества полных квадратов, поскольку среди всех чисел присутствуют как квадраты, так и неквадраты.

3. Однако же каждое число можно поставить во взаимно-однозначное соответствие со своим квадратом:

4. Итак, полных квадратов в действительности столько же, сколько и всех целых чисел. Что есть противоречие, потому что в пункте 2 мы заметили, что целых чисел вообще больше, чем квадратов.

Вывод Галилея состоял в том, что, когда дело доходит до бесконечности, такие числовые концепции, как «больше чем», «равно» и «меньше чем», теряют смысл. Эти термины могут быть понятны и осмысленны в приложении к конечным количествам, но не к бесконечным. Утверждения, что чисел вообще больше, чем квадратов, или что чисел столько же, сколько квадратов, лишены смысла, поскольку вся совокупность как чисел вообще, так и квадратов бесконечна.

Георг Кантор придумал новый способ осмысления бесконечности, который устранил парадокс Галилея. Вместо того чтобы рассматривать отдельные числа, Кантор рассмотрел группы чисел, которые назвал «множествами». Кардинальное число всякого множества есть число членов в этой группе. Так, {1, 2, 3} — множество с кардинальным числом 3, а {17, 29, 5, 14} — множество с кардинальным числом 4. «Теория множеств» Кантора заставляет сердце биться чаще, когда рассматриваются множества с бесконечным числом членов. Он ввел новый символ для бесконечности — ℵ 0(произносится «алеф-нуль»), используя первую букву древнееврейского алфавита, снабженную нижним индексом, и сказал, что это есть кардинальное число множества натуральных чисел, то есть {1, 2, 3, 4, 5…}. Каждое множество, члены которого можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с натуральными числами, также обладает кардинальным числом ℵ 0. Таким образом, поскольку имеется взаимно-однозначное соответствие между натуральными числами и их квадратами, множество квадратов {1, 4, 9,16, 25…} имеет кардинальное число ℵ 0. Подобным же образом, множество нечетных чисел {1, 3, 5, 7, 9…}, множество простых чисел {2, 3, 5, 7, 11…} и множество чисел, внутри которых содержится 666, то есть {666, 1666, 2666, 3666…}, — все они имеют кардинальное число ℵ 0. Если имеется множество с бесконечным числом членов и если возможно пересчитать члены один за другим, так что в конце концов каждый будет посчитан, то кардинальным числом такого множества является ℵ 0. По этой причине ℵ 0стал известен как «счетная бесконечность». Причина же, по которой все это представляется столь замечательным, состоит в том, что Кантор показал, что можно двигаться и дальше. Сколь бы большим ни было ℵ 0, это сущее дитя в семье канторовских бесконечностей.