Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Маловероятно, что Дайна пришла бы к идее связать гиперболическую поверхность, если бы она родилась мужчиной, и это делает ее изобретения заметным событием в культурологической истории математики, где женщины в течение долгого времени были представлены в весьма малой степени. На самом деле вязание крючком — лишь один из немногих примеров традиционно женских рукоделий, вдохновляющих математиков на исследование новых подходов. Математическое вязание, производство килтов, вышивка и ткачество — все это даже составляет университетский курс, известный как «математика и текстильные ремесла».

Когда гиперболическое пространство впервые предстало перед мысленным взором ученых, казалось, что оно устроено наперекор всякому чувству реальности, но со временем оно заняло свое место как явление ничуть не менее «реальное», чем плоская или сферическая поверхность. Каждая поверхность имеет свою собственную геометрию, и нам следует выбрать ту из них, которая окажется самой подходящей, — или, как однажды заметил Анри Пуанкаре, «одна геометрия не может быть более истинной, чем другая; она может лишь быть более удобной». Евклидова геометрия, например, лучше всего подходит для школьников, вооруженных линейками, циркулями и плоскими листами бумаги, в то время как сферическая геометрия больше годится для авиапилотов, прокладывающих маршрут для своего самолета.

Физики также проявляли интерес к выяснению того, какая геометрия более всего подходит для их целей. Идеи Римана о кривизне поверхностей снабдили Эйнштейна средствами для совершения одного из величайших интеллектуальных прорывов. Ньютоновская физика предполагала, что пространство является евклидовым, или плоским. Общая теория относительности Эйнштейна, однако, утверждает, что геометрия пространства — времени (трехмерное пространство плюс время, рассматриваемое как четвертое измерение) — не плоская, а искривленная. В 1919 году британская научная экспедиция, направившаяся в Собрал — город на северо-востоке Бразилии, — сфотографировала во время солнечного затмения звезды, находящиеся позади Солнца, и обнаружила, что они немного смещены относительно своих реальных положений. Объяснение этому дала теория Эйнштейна, согласно которой свет от звезд, прежде чем достигнуть Земли, искривляется вблизи Солнца. Траектория луча света кажется изогнутой вблизи Солнца, если рассматривать луч в трехмерном пространстве (а это единственный доступный нам способ наблюдений), но на самом деле он следует по прямой линии, определяемой искривленной геометрией пространства — времени. Тот факт, что теория Эйнштейна правильно предсказала положение звезд, послужил доказательством верности общей теории относительности, а сам Эйнштейн стал мировой знаменитостью. Лондонская «Таймс» пестрела заголовками: «Революция в науке. Новая теория Вселенной. Ньютоновские идеи ниспровергнуты».

Эйнштейн был занят выяснением вопроса о пространстве — времени, которое, как он показал, искривлено. А что насчет кривизны нашей Вселенной, если не рассматривать время как еще одно измерение? Чтобы узнать, какая же геометрия более всего отвечает поведению наших трех пространственных измерений на больших масштабах, надо понять, как линии и формы ведут себя на экстремально больших расстояниях. Ученые надеются узнать это из данных, которые в настоящее время собирает спутник «Планк», запущенный в мае 2009 года и измеряющий реликтовое излучение космоса — так называемый «последний отблеск» Большого взрыва, — и делает это с более высоким разрешением и чувствительностью, чем были доступны когда-либо ранее. Среди рассматриваемых возможностей обсуждается Вселенная или плоская, или сферическая (но достаточно плоская), хотя все еще не исключено, что она может оказаться гиперболической. Есть немалая доля иронии в том, что геометрия, исходно считавшаяся лишенной смысла, оказалась пригодной для описания самого что ни на есть реального положения вещей.

Примерно в то же самое время, когда математики исследовали противоречащие здравому смыслу неевклидовы пространства, великий немецкий ученый Георг Кантор (1845–1918) перевернул вверх ногами наше понимание другого математического понятия — бесконечности. Кантор преподавал в Университете Галле-Виттенберг в Германии, где он и развил новаторскую теорию чисел, в которой бесконечность может иметь более одного размера. Идеи Кантора были столь необычны, что поначалу вызывали лишь насмешки. Многие математики того времени их совершенно не воспринимали. Анри Пуанкаре, например, отзывался о работах Кантора как о «заболевании, позорной болезни, от которой математика когда-нибудь излечится», а Леопольд Кронекер — профессор математики в Берлинском университете, учитель Кантора, — отвергал его как «шарлатана» и «развратителя юношества». Эта словесная война, надо думать, не прошла для Кантора даром и во многом обусловила нервный срыв, случившийся с ним в 1884 году, когда ему было 39 лет. То был первый из многочисленных эпизодов в его жизни, связанных с глубокой депрессией и пребыванием в клиниках. В своей книге о Канторе «Всё и более» Дэвид Фостер Уолис пишет: «В наши дни Психически Больной Математик занимает, по всей видимости, место, в предыдущие эпохи зарезервированное за Странствующим Рыцарем, Святым Мучеником, Терзающимся Художником и Сумасшедшим Ученым, представляя собой некое подобие Прометея, который отправляется в запретные края и возвращается с дарами, которыми готовы воспользоваться все, но за которые платит он один». Литература и кино во многом ответственны за придание связи между математикой и безумием этакого налета романтизма. Подобное клише удовлетворяет сюжетно-тематическим требованиям, предъявляемым к голливудскому сценарию (основной пример — «Игры разума»), но, конечно, представляет собой некорректное обобщение; и тем не менее великим математиком, стоящим за этим архетипом, вполне мог бы быть Кантор. Данный стереотип подходит к нему особенно хорошо, поскольку он вступил в схватку с бесконечностью — концепцией, связывающей математику, философию и религию. Он не только бросал вызов математическим доктринам, но и создавал основы абсолютно новой теории познания, которая для него была еще и способом понять Бога; неудивительно, что в процессе этих свершений он серьезно задел некоторых людей.