Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Больший успех сопутствовал математикам в попытках переформулировать постулат в других терминах. Например, англичанин Джон Уоллис еще в XVII веке понял, что все, имеющееся в «Началах», можно доказать, взяв первые четыре постулата неизменными и заменив пятый постулат следующим альтернативным вариантом: если задан любой треугольник, его можно увеличить или, наоборот, сжать до любого размера таким образом, чтобы длины сторон оставались в неизменном отношении друг к другу, а углы между сторонами не менялись. Хотя осознание того, что пятый постулат можно перефразировать как утверждение о треугольниках, а не о прямых, означало глубокое проникновение в суть происходящего, это не развеяло беспокойства математиков: альтернативный постулат Уоллиса, может, и был более (хотя и не так уж) интуитивным, чем пятый постулат, но он все равно не получался столь же простым или очевидным, как первые четыре. Были открыты и другие эквиваленты пятого постулата; Евклидовы теоремы по-прежнему оставались верными, если заменить пятый постулат утверждением о том, что сумма углов треугольника составляет 180 градусов, или что верна теорема Пифагора, или что для всех окружностей отношение длины окружности к диаметру равно π. Сколь бы неожиданным такое ни показалось, все эти утверждения математически взаимозаменяемы. Эквивалентное утверждение, которое наиболее удобным образом выражает суть пятого постулата, однако, касается поведения параллельных линий. Начиная с XVIII столетия математики, изучавшие Евклида, стали отдавать предпочтение следующему варианту, известному как постулат о параллельных:

Для заданной прямой и точки вне ее существует самое большее одна прямая, проходящая через эту точку и параллельная данной прямой.

Можно показать, что постулат о параллельных имеет отношение к геометрии двух различных типов поверхности, где все зависит от фразы «самое большее одна прямая», которая на языке математики означает «или одна прямая, или ни одной». В первом случае, проиллюстрированном на рисунке, для любой прямой L и точки P существует только одна проходящая через P прямая, параллельная L (она обозначена как L'). Этот вариант постулата о параллельных применим к поверхности наиболее очевидного типа — плоской поверхности, такой как лист бумаги, лежащий у вас на столе.

Постулат о параллельных

Теперь рассмотрим второй вариант постулата, в котором для любой прямой L и точки P вне ее нет ни одной прямой, проходящей через P и параллельной L. С ходу нелегко сообразить, что это может быть за поверхность. В какую ужасную даль от Земли нам придется отправляться на ее поиски?

Да никуда не придется. Мы так и останемся на Земле! Представим себе, например, что наша линия L — это экватор, и вообразим, что точка P — это Северный полюс. Единственные прямые линии, идущие через Северный полюс, — это линии долготы, такие как Гринвичский меридиан, и при этом все линии долготы пересекают экватор. Таким образом, прямой линии, которая проходила бы через Северный полюс и была бы при этом параллельна экватору, просто нет.

Постулат о параллельных говорит о том, что кроме геометрии поверхностей существует еще и геометрия поверхностей сферических. «Начала» имели дело с плоскими поверхностями, и в течение 2000 лет именно они оставались в фокусе математических изысканий. Сферические же поверхности, например поверхность Земли, представляли тогда больший интерес для штурманов и астрономов, чем для теоретиков. Лишь к началу XIX века математики создали теорию, которая охватывала как плоские, так и сферические поверхности, а произошло это только после того, как ученые познакомились с поверхностями третьего типа — гиперболическими.

Среди вознамерившихся вывести постулат о параллельных из первых четырех постулатов и тем самым доказать, что это вовсе не постулат, а теорема, решительнее всех был настроен, пожалуй, Янош Бойяи (1802–1860) — студент из Трансильвании, обучавшийся инженерному делу. Его отец Фаркаш — тоже математик! — исходя из собственного неудачного опыта хорошо представлял себе, какие испытания уготованы сыну на сем пути. «Бога ради, заклинаю тебя, брось это дело, — убеждал он сына. — Оно опаснее, чем чувственные удовольствия, поскольку способно точно так же поглотить все твое время и лишить тебя здоровья, душевного спокойствия и счастья в жизни». Но Янош упрямо игнорировал отцовские увещевания; более того, в своем бунтарстве он был даже готов рассматривать возможность ложности этого евклидовского постулата! Не надо забывать, что для математиков «Начала» были чем-то вроде Библии для христиан — книгой, содержащей непререкаемую, священную истину. И хотя вопрос о том, является ли пятый постулат аксиомой или теоремой, обсуждался, и довольно активно, никто до Бояйи-младшего не осмеливался предположить, что это утверждение Евклида не совсем верно. Прошло время, и оказалось, что постановка этого вопроса открыла окно в новый мир.