Чарльз Сейфе - Ноль - биография опасной идеи

Неосмотрительное использование ноля обладает властью уничтожить логику.

Разделите отрезок прямой на две части, так, чтобы отношение меньшей части к большей было бы равно отношению большей части ко всему отрезку. Для простоты будем считать, что меньшая часть имеет в длину 1 фут, а большая — x футов. Очевидно, что длина всего отрезка в этом случае x + 1. Придав отношению алгебраический вид, получим, что отношение меньшей части к большей равно 1 / x , а отношение большей части ко всему отрезку — x / (1 + x ).

Поскольку отношение меньшей части к большей равно отношению большей части к целому отрезку, мы можем приравнять отношения друг другу, что дает уравнение:

x / (1 + x ) = 1 / x.

Мы стремимся решить это уравнение в отношении x , что и есть золотое сечение. Первый шаг — умножить обе части уравнения на x , что дает

x 2/ (1 + x ) = 1.

Умножив потом обе части на (1 + x ), получаем

x 2= 1 + x .

Вычтя 1 + x из обеих частей уравнения, получаем

x 2— x — 1 = 0.

Теперь можно решить квадратное уравнение:

х = 1±√(1 + 4) / 2.

Мы имеем два решения, однако только первое из них, примерно равное 1,618, является положительным числом, только оно имело смысл для греков. Таким образом, золотое сечение приблизительно равно 1,618.

В настоящее время понятие производной опирается на надежный логический базис, поскольку мы определяем ее в терминах пределов. Формальное определение производной от функции f(x) в точке x 0, обозначаемой как f '(x), таково:

f '(x) = lim f(x + ε ) — f(x) / εпри ε →0.

Чтобы увидеть, как это помогает избавиться от грязной уловки Ньютона, рассмотрим ту функцию, которая использовалась для демонстрации флюксий Ньютона: f '(x) = x 2+ x + 1. Производная этой функции равна

f '(x) = lim (x 2+ 2 ε x + ε 2+ x + ε+ 1 — x 2— x — 1) / εпри ε →0..

Теперь x 2взаимно уничтожается с –x 2, x аннигилирует с –x, а 1 — с –1. Остается

f '(x) = lim ( 2 ε x + ε + ε 2 ) / εпри при ε →0.

Разделив на ε , мы помним, что εвсегда отлично от 0, потому что мы еще не вычислили предел. Получаем

f '(x) = lim (2x + 1 + ε) при ε →0.

Теперь мы находим предел и позволяем εприблизиться к 0. Получаем

f '(x) = 2 x + 1 + 0 = 2 x +1

Это и есть ответ, который мы ищем. Всего лишь небольшой сдвиг в мышлении, но он и составляет всю разницу.

Чтобы показать, что рациональных чисел столько же, сколько натуральных, Кантор должен был всего лишь предложить разумный способ «рассадки». Именно это он и проделал.

Как вы можете вспомнить, рациональные числа — это набор чисел, которые могут быть выражены как a / b , где a и b — целые числа (при b , конечно, отличном от ноля). Для начала рассмотрим положительные рациональные числа.

Представьте себе числовую решетку — две числовые оси, пересекающиеся в нулевой точке, совсем как декартовы координаты. Поставим ноль в начало и любой другой точке решетки соотнесем рациональное число x / y , где x — координата точки по оси X , а y — координата по оси Y. Поскольку числовые оси уходят в бесконечность, каждое положительное сочетание x и y имеет точку на решетке ( рис. 58 ).

Рис. 58.Нумерация рациональных чисел

Теперь давайте составим схему рассадки положительных рациональных чисел. В качестве места 1 начнем с точки 0 на решетке. Затем перейдем к точке 1 / 1 — это место 2, затем к точке 1 / 2 — это место 3, затем — к 2 / 1 (что, конечно, то же самое, что число 2) — это место 4, затем к 3 / 1 — это место 5. Мы можем путешествовать туда и сюда по решетке, пересчитывая по дороге числа. Это дает такую схему рассадки (место — рациональное число):

1 . . . . . . . . . . 0

2 . . . . . . . . . . 1

3 . . . . . . . . . . 1/ 2

4 . . . . . . . . . . 2

5 . . . . . . . . . . 3

6 . . . . . . . . . . 1

7 . . . . . . . . . . 1/ 3

8 . . . . . . . . . . 1/ 4

9 . . . . . . . . . . 2/ 3

И так далее, и так далее.

Со временем все числа получат места, некоторые — даже два. Удалить дубликаты легко — просто пропустить их при составлении схемы.