Борис Штерн - Прорыв за край мира

Уравнение стало совсем простым, остается найти зависимость плотности энергии от масштабного фактора. Для этого надо знать уравнение состояния, дающее связь между плотностью энергии и давлением и зависящее от того, чем заполнена Вселенная. Самое простое и весьма правдоподобное предположение — давление равно нулю. Это так, если основная часть материи во Вселенной сосредоточена в звездах и холодном газе. Сейчас мы знаем, что гораздо большая часть массы Вселенной заключается в темной материи. Но мы также знаем, что темная материя состоит из сравнительно медленно движущихся частиц, которые не создают давления. В случае нулевого давления плотность энергии (она же просто плотность, помноженная на с 2) ε ~ а -3, поскольку масса вещества в сопутствующем объеме V ~ а 3остается постоянной. В этом случае уравнение Фридмана принимает совсем простой вид:

ȧ = const·a -1/2

Как решаются подобные простейшие дифференциальные уравнения, объяснено во врезке. В данном случае его решение:

a(t) = const·t 2/ 3

В конце 1990-х оказалось, что предположение о нулевом давлении в современной Вселенной неверно, и закон расширения другой. Об этом чуть ниже.

Есть еще один жизненно важный вариант уравнения состояния Вселенной — ультрарелятивистский:

р = 1/3 ε ,

возникающий, когда основная масса частиц движется со скоростью света или близкой к ней. Такое уравнение состояния у Вселенной было в первые 80 тыс. лет ее существования. При расширении Вселенной плотность энергии релятивистского содержимого падает как 1/а 4 (число частиц в единице объема падает как 1/а 3 , и энергия каждой частицы падает как 1/а , что проще всего представить как растяжение волны фотона вместе с пространством: λ ~ а ). Уравнение Фридмана приобретает вид:

(ȧ/a ) 2 = const/a 4,

или

ȧ = const/a

Решение в данном случае

a(t) = const·t 1/2

Получается, что ранняя Вселенная, в которой давление материи огромно, расширяется по более медленному закону ( t 1/2), чем нынешняя ( t 2/3). Это, казалось бы, противоречит здравому смыслу. Но так диктуют уравнения. Запомним этот странный факт — дальше будет еще интересней.

В этой главе автор допускает некоторое занудство, приводя подробную серию выкладок, чтобы дотошный читатель мог проследить, как и откуда берутся парадоксальные явления, связанные с появлением Вселенной на свет. Здесь уже нет уравнений в частных производных, только обыкновенные простейшие дифференциальные уравнения, метод решения которых изложен на врезке.

Выше мы допустили, что пространство может быть заполнено неким скалярным полем, которое мы напрямую не ощущаем. Сейчас мы знаем по крайней мере один пример фундаментального скалярного поля — поле Хиггса. Квант этого поля (бозон Хиггса) недавно открыт на Большом адронном коллайдере. Еще одним примером скалярного поля может оказаться темная энергия, доминирующая в плотности энергии современной Вселенной, хотя в этом случае возможны разные интерпретации.

Абстрагируясь от конкретных примеров, предположим, что Вселенная заполнена однородным и постоянным во времени скалярным полем. Допустим, это поле имеет ненулевую плотность энергии, которую обозначим, как ε. Как это поле будет влиять на Вселенную?

Чтобы правильно вставить скалярное поле в уравнение Фридмана, осталось выяснить его уравнение состояния: как давление скалярного поля зависит от его энергии. Представим себе чудесный ящик (чудесный, поскольку в реальном мире такое воспроизвести невозможно), заполненный скалярным полем, вне которого поле равно нулю. Пусть у ящика есть выдвижная стенка с ручкой, которую можно вытягивать, увеличивая объем ящика. Потянем за стенку, отодвинув ее наружу на расстояние l . Объем ящика с полем увеличился на sl , где s — площадь стенки ящика. Значит, энергия поля в ящике увеличилась на εsl . Она увеличилась за счет того, что мы совершили работу Fl , где F — сила, с которой мы тянули, — она равна - ps (минус появляется из-за того, что сила направлена против давления). Итак, приравнивая работу приращению энергии, имеем εsl = -psl , значит, уравнение состояния (т.е. связь между плотностью энергии и давлением) для однородного и постоянного во времени скалярного поля: р = -ε .

Это особое уравнение состояния: единственное с ненулевой плотностью энергии, которое лоренц-инвариантно, т.е. не выдаст наблюдателю, с какой скоростью он движется. Наблюдатель в любой системе отсчета будет «видеть» то же самое: плотность энергии ε , давление р = -ε . Сравним с пространством, заполненным пылью: в системе отсчета, где пыль покоится, наблюдатель видит плотность энергии рс 2, давление 0. Для наблюдателя, движущегося с лоренц-фактором Γ относительно пыли, плотность энергии равна Γ 2 рс 2, кроме того, с его точки зрения в тензоре энергии-импульса появляются недиагональные элементы (компоненты импульса частиц пыли).