Коллектив авторов - Рефлексивные процессы и управление. Сборник материалов XI Международного симпозиума 16-17 октября 2017 г., Москва

Для игры 2×2,описанной выше, из изложенного следует: 1) если γ необходимый и достаточный признак для S, то γ есть необходимый и достаточный признак для; 2) если а необходимый признак для S, то ā есть достаточный признак для S¯ ; 3) Если β достаточный признак для S, то β¯ есть необходимый признак для S¯.

Пусть игра, описанная выше, такова что, игрок 𝒜 для распознавания стратегий противника использует разные признаки: для В 1 использует некоторый признак δ 1 , а признак δ 2 – для стратегии В 2 . Допустим, что данные признаки приводят к успешному распознаванию с одинаковой вероятностью θ. Использование признаков увеличивает математическое ожидание выигрыша, если вероятность θ > 0.5.

Если в игре 2×2: 1) игрок 𝒜 для распознавания стратегии В 1 использует только необходимый признак а 1 ; 2) достаточный признак α 2 реализуется в разных ситуациях с вероятностью θ; 3) вместе признаки дают необходимый и достаточный признак; 4) для распознавания стратегии В 2 используется признак α 1 ¯. Тогда: 1) если игрок ℬ использует равновесную стратегию, то математическое ожидание 𝜈 𝒜выигрыша игрока 𝒜 равно , в этом случае вероятность выигрыша игрока 𝒜 больше равновесного при любом θ; 2) для любых смешанных стратегий игрока ℬ имеет место 𝜈 𝒜∈ [𝜃; 1], и величина 𝜈 𝒜больше равновесного выигрыша при θ > 1/2. Следовательно, использование необходимого признака дает выигрыш больший, чем равновесный выигрыш 0.5 при θ > 0.5 для любых стратегий (у 1; у 2 ).

Если игроку 𝒜 известны оба необходимых признака: α 1– для стратегии В 1 и признак β 1для В 2 (𝛼 1𝛽 1= 0), то он делает безошибочный прогноз при любом выборе противника.

При распознавании стратегии противника, игрок может обнаружить несоответствие между признаком, установленным ранее, и признаком, наблюдаемым в данный момент. Это может быть обусловлено следующими причинами: ошибками распознавания; управляющим воздействием противника, который демонстрирует противоположные значения некоторых элементарных признаков; неполнотой признака, если признак достаточный.

Устранить эту неопределенность, методами математической логики можно лишь при привлечении рефлексивных соображений [5], базирующихся на знании данной предметной области и(или) психологическом портрете противника.

Большое значение в принятии решения, основанном на использования признаков, дает уверенность в достоверности используемых признаков. Пусть признак K в результате n разыгрываний данной игры приводил к правильному распознаванию стратегии. Насколько можно быть уверенным в том, что в текущем разыгрывании данный признак приведет к успешному распознаванию. Другими словами, не является ли это игрой случая. Перед нами задача математической статистики, в которой нулевая гипотеза утверждает, что мы имеем дело со схемой независимых испытаний и наблюдаемые результаты носят случайный характер. Альтернативная гипотеза заключается в том, что из истинности данного признака K всегда следует правильное заключение. Определим достоверность признака как нижнюю границу вероятности того, что в следующем разыгрывании игры вероятность успешного распознавания выше, чем вероятность ошибки. Заметим, что достоверность характеризует следование: K ⟹ S , а не сам признак. Данная оценка вероятности равна:

. Для утверждения, носящего рефлексивный характер и вводимого в рассмотрение впервые, достоверность естественно положить равной 0.5. Если рассматривается цепочка таких рефлексивных следований длины p , то ее достоверность равна 0.5 p. Это, в частности, относится к рефлексивным рассуждениям, основанным на определении ранга рефлексии в конечных играх [4]. Однако, если ранг рефлексии установлен в результате длительных наблюдений за противником, то его значение также является признаком, который позволяет сделать правильный выбор. Все это говорит о необходимости включения рефлексивных рассуждений в теорию игр.