Альфред Тарский - Семантическая концепция истины и основания семантики

Следует отметить, что термины объектный язык и мета-язык являются лишь относительными. Если, например, нас заинтересует понятие истины, применимое к предложениям не нашего первоначального объектного языка, а его мета-языка, то последний автоматически становится объектным языком нашего обсуждения, и чтобы определить истину для этого языка, мы должны перейти к новому метаязыку, так сказать, к мета-языку более высокого уровня. Так мы приходим к целой иерархии языков.

Словарь мета-языка в значительной степени детерминирован точно сформулированными условиями материальной адекватности определения истины. Как мы помним, из этого определения должны следовать все эквивалентности вида Т:

(Т) X истинно тогда и только тогда, когда р.

Само определение и все вытекающие из него эквивалентности должны быть сформулированы в мета-языке. В то же время, символ р в эквивалентности вида Т представляет произвольное предложение нашего объектного языка. Отсюда следует, что каждое предложение, встречающееся в объектном языке, должно входить также в метаязык, иными словами, мета-язык должен содержать объектный язык как свою часть. Во всяком случае, это необходимо для доказательства адекватности определения, хотя само определение иногда может формулироваться в менее богатом мета-языке, невыполняющем этого требования.

(Обсуждаемое требование можно несколько модифицировать, так как достаточно потребовать, чтобы объектный язык был переводим в мета-язык. Это приводит к определенному изменению интерпретации символа р в эквивалентности Т. В дальнейшем мы не будем принимать во внимание возможность этой модификации.)

Символ X в эквивалентности T представляет имя того предложения которое представлено символом р. Отсюда мы можем увидеть, что мета-язык должен быть достаточно богат для того, чтобы в нем можно было построить имя для любого предложения объектного языка.

Наконец, мета-язык безусловно должен содержать термины общелогического характера, такие как выражение тогда и только тогда, когда [14] Термины логика и логический в данной статье употребляются в самом широком смысле, который в последние десятилетия стал почти традиционным. Логика понимается здесь как охватывающая всю теорию классов и отношений (т. е. математическую теорию множеств). Лично я по многим причинам предпочитаю употреблять термин логика в более узком смысле, включающим в себя только то, что иногда называют элементарной логикой, т. е. пропозициональное исчисление и (узкое) исчисление предикатов. .

Желательно, чтобы мета-язык не включал в себя каких-либо неопределяемых терминов, за исключением тех, которые явно или неявно были указаны выше: термины объектного языка; термины, относящиеся к форме выражений объектного языка и используемые для образования их имен; и термины логики. В частности, мы хотим, чтобы семантические термины (говорящие об объектном языке) вводились в мета-язык только посредством определений. Если этот постулат выполнен, определение истины или любого другого семантического понятия будет выполнять то, чего мы интуитивно ожидаем от любого определения: значение определяемого термина оно будет объяснять в таких терминах, значение которых представляется совершенно ясным и недвусмысленным. Кроме того, мы получим некоторые гарантии относительно того, что использование семантических понятий не при ведет нас к каким-либо противоречиям.

У нас нет никаких дальнейших требований к формальной структуре объектного языка и мета-языка, мы предполагаем, что они похожи на другие формализованные языки, известные к настоящему времени. В частности, мы предполагаем, что в мета-языке соблюдаются обычные формальные правила определения.

Теперь у нас имеется ясное представление и об условиях материальной адекватности определения истины, и о формальной структуре языка, в котором должно быть сформулировано это определение. В этих обстоятельствах проблема определения истины приобретает характер четкой и чисто дедуктивной проблемы.

Однако само решение проблемы никоим образом не очевидно, и я не смог бы сформулировать его во всех деталях, не обращаясь к аппарату современной логики. Здесь я ограничусь кратким очерком этого решения и обсуждением некоторых моментов, связанных с ним и имеющих более общий интерес.

Решение оказывается иногда положительным, а иногда отрицательным. Это зависит от некоторых формальных отношений между объектным языком и его мета-языком или, говоря более конкретно, от того, является ли мета-язык в своей логической части существенно богаче объектного языка или нет. Нелегко сформулировать общее и точное определение понятия быть существенно богаче. Если мы ограничиваемся языками, опирающимися на логическую теорию типов, то быть существенно богаче для мета-языка означает содержать переменные более высокого логического типа, чем переменные объектного языка.