М Макарова - Практическая перспектива

«Золотое сечение». На практике при выборе формата листа (картины) часто используют «классические» пропорции сторон прямоугольника, в котором отношение меньшей стороны к большей составляет число 0,6180339, а большей к меньшей — 1,6180339. Эти числа с древнейших времен называют «золотыми», а отношение величин, необходимое для их получения, известно в науке как «золотое сечение».

Основа учения о гармонии мира, выраженная в числовых отношениях, была заложена древнегреческим ученым-математиком Пифагором (VI в. до н. э.). Им представлено «золотое сечение» как одна из закономерностей, математически точно определяющая наиболее красивое и гармоничное соотношение частей целого, разделенного на две неравные половины (илл. 13). Это соотношение основано на геометрическом делении отрезка АВ точкой С в среднем и крайнем отношении (АБ = М,; DL = DB = DE\ АЕ=АС). В этой пропорции длина всего отрезка так относится к большей его части, как большая — к меньшей ( АВ'.АС = АС.СВ).

На соотношении частей отрезка в пропорциях «золотого сечения» основано построение прямоугольника (илл. 14,о). С помощью диагоналей осуществляется членение его на составные части, при котором образуется «динамика» пропорциональных фигур — квадрата, прямоугольника, а также прямоугольного и равнобедренного треугольников (илл. 14,6).

Таким образом, используя диагонали можно получить последовательный ряд увеличивающихся прямоугольников с соотношением сторон — 1:V2, 1 :УЗ, 1 :У4,1 г\/5, производных от квадрата (илл. 15,о).

а) б) 1

Илл. 14. Построение прямоугольника в пропорциях «золотого сечения» (а); "динамическое» расчленение диагоналями «золотого» прямоугольника (б)

Заметим, что при стороне л[4 образуется прямоугольник с удвоенным квадратом. При стороне V3 образуется два прямоугольных треугольника, у которых общая гипотенуза является диагональю прямоугольника, равная удвоенной величине меньшего катета (то есть стороне квадрата), и они имеют острые углы 30° и 60°.

Илл. 15. Образование «динамических» прямоугольников способом диагоналей (а) и «активных» квадратов по диагонали исходного (б)

Диагональ используется и в построении последовательно увеличивающихся квадратов, создающих «динамическое» развитие их величины (илл. 1 5,6). В этом построении сторона каждого последующего квадрата относится к стороне предыдущего, как диагональ квадрата к его же стороне. Эти преобразования иногда называют «активным» квадратом.

Геометрическая система «динамических» пропорций квадрата, прямоугольника и треугольника были основой в создании архитектурных сооружений в ранний период Древнего Египта. Кроме того, в условиях примитивной техники архитектурного строительства в те далекие времена постоянно требовалось восстановление перпендикуляра к прямой, которое осуществлялось тогда при помощи веревки с 12-ю узлами. С использованием такого «приспособления» получался прямоугольный треугольник с отношением сторон — 3:4:5, который в последствии стали называть «египетским» (илл. 16,а). В настоящее время на его основе строят прямые углы и проводят перпендикуляры к концу отрезка (илл. 16,6).

а) 6)

Илл. 16. Определение прямого угла при помощи веревки с 12-ю узлами (а) и с использованием соотношения сторон «египетского» треугольника (б)

Вернемся к историческим истокам «золотого сечения». С древнейших времен оно используется в практике построения различных изображений. Это способствует созданию гармоничных образов и уравновешенности пропорций во всем, что нас окружает. Пропорции «золотого сечения» присутствуют в математике, и особенно в геометрии, в изобразительном искусстве, в быту и в природе, в растительном и животном мире.

«Золотое сечение» получило широкое развитие в математике.

Так, в XVI в. итальянский ученый Фибоначчи выстроил математический ряд цифр, при котором последующее число определяет сумму двух предыдущих — 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 и т. д. Кроме того, устанавливается и другая зависимость этих чисел, при которой отношение каждого последующего к предыдущему выражается числом 1,618..., а предыдущего к последующему — 0,618. Таким образом, в этом математическом ряду образуется взаимосвязь чисел, содержащая пропорции «золотого сечения».