Хаим Шапира - Гладиаторы, пираты и игры на доверии. Как нами правят теория игр, стратегия и вероятности

Я могу математически и точно доказать, что лучшая стратегия для повышения его шансов до максимума – в стремлении обратить его $4 в $10 – состоит в том, чтобы делать ставку на один цвет и ставить меньшее из двух вариантов: или все, что у него есть, или столько, сколько ему требуется, чтобы достичь $10. Позвольте объяснить.

У него есть $4, ему нужно $10, и он ставит все $4 на красное. Конечно, казино может просто проглотить эти деньги, и игрок пойдет домой пешком. Но, если сыграет красное, его состояние удвоится. Теперь, когда у него есть $8, ему незачем ставить всю сумму: ему нужно еще только $2. И потому ему следует ставить только $2, и, если ему снова повезет, у него будут желанные $10. Если же он потеряет $2, у него все еще останется $6, и из них он должен будет поставить $4. В таком духе он и будет играть до того, как потеряет все свои деньги или достигнет желанных $10.

Оптимальная стратегия состоит именно в том, чтобы пойти на эту «смелую игру» – иными словами, ставить все свои деньги или ту сумму, которой вам не хватает до желанной цели. Стратегия эта может показаться странной: многие сочли бы, что им лучше ставить по доллару или паре долларов зараз. Но они неправы. «Смелая игра» [27] Словосочетание «смелая игра» (bold play) встречается в «библии» игр в рулетку: Dubbins Lester E. and Savage Leonard J. How to Gamble if You Must. Dover Publications, N. Y., reprint edition, 2014; впервые опубликованной в 1976 г. под названием «Inequalities for Stochastic Processes». – это лучший выбор: если вы «незначительный игрок», вам следует играть как можно меньше.

А кто такой «незначительный игрок»? Это тот игрок, чьи шансы на победу в игре меньше, чем у его противника (пусть даже на самую малую часть), или тот, у кого меньше денег (и меньше возможностей возместить свои потери), чем у другого игрока.

Если вы играете против казино, ваше место на этих весах вполне ясно. У казино всегда преимущество (именно для этого на колесе рулетки «зеро» и «двойное зеро»), опыт и деньги, которых у вас нет.

Позвольте мне еще раз вас предупредить: не играйте в казино! Возможно, это лучший математический совет, который я могу вам дать (конечно, не в том случае, если вы просто развлекаетесь и не тревожитесь о том, что придется расплачиваться за проигрыш. А если это именно ваш случай, тогда предлагаю поступить так: решите, сколь много вы готовы заплатить, еще до того , как начнете играть, и стойко держитесь этого решения). Возможно, вы удивитесь, узнав, что я мог интуитивно объяснить, почему «смелая игра» – это оптимальная стратегия, которая максимально повышает ваши шансы выиграть эти $10.

Чтобы упростить объяснение, позвольте мне представить другую проблему, которая прольет ясный и яркий свет на вопрос с рулеточным столом.

Представьте, что мне посчастливилось столкнуться с гением баскетбола Майклом Джорданом и он согласился побросать со мной мячик. Он уже не в НБА, я никогда там и не был, и у нас обоих масса свободного времени. Уверенный в своем мастерстве, М. Дж. великодушно предлагает мне определить, до какого счета играем. Что предложите? Надеюсь, ответ ясен. Мне лучше вообще все отменить, обняться с Майклом и согласиться на ничью (хотя и очень глупо будет упустить шанс сыграть против кумира). Есть и второе решение, не столь хорошее – но все же хорошее: играть до первого очка. Чудеса случаются! Бросить-то я могу! И кто знает, вдруг мячик будет ко мне милосерден и со свистом упадет прямо в корзину – а М. Дж., глядишь, и промахнется, как случается и с лучшими?

Если я решу играть до двух или трех очков, мои шансы на победу упадут до неприличия низко; а если мы продолжим, то мой проигрыш станет делом почти решенным. «Закон больших чисел» предсказывает, что в конце концов произойдет именно то, чего ожидают. Если же мы будем играть до первого попадания, тогда я могу, по крайней мере, помечтать о том, как одолею в баскетбол самого Майкла Джордана. За грезы денег не берут.

Если вернуться к вопросу о казино, то позвольте напомнить, что на рулетке есть «зеро», а то и «двойное зеро» и благодаря им чаша весов склоняется в пользу заведения, а вся игра, как мне кажется, становится несправедливой. На качественном уровне ставить против казино – это все равно что играть в баскетбол против Майкла Джордана. Заведение – лучший игрок. И посоветовать можно только одно: играйте как можно меньше. В конце концов казино побеждает всегда.

Эксперты в делах казино или рационалисты-математики могут поинтересоваться тем, что случится, если мы, имея $4, поставим сперва один доллар, а потом будем держаться такой стратегии: в случае победы поставим $5, а в случае проигрыша снизим ставку до $3 и вернемся к упомянутой выше стратегии «смелой игры». Ответ таков: эта стратегия дает такие же шансы на победу, как и «смелая игра», с самого начала. В любом случае это замечание только для экспертов.