Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

311

Решения

90. Лоренц-фактор

90. аЕсли v ا с , то v / с ا1, а у близко к единице. Тогда запишем

2 y = 1− x = 1−,ε

где х = v / с . Возведем обе части в квадрат и получим y = − x = (−ε)2

2

2

1

1

.

Раскроем скобки в правой части:

2

2

1− x = 1− 2ε + ε.

Как указано в условии задачи, если значение очень мало, 2 — это совсем чуть-чуть, и им можно пренебречь. Тогда получаем

— х 2 = –2,

или

1 2

ε = x .

2

Или, если подставить наше выражение х = v / с , 2

1⎛ v ⎞

ε = ⎜ ⎟.

2 ⎝ c ⎠

Тогда, поскольку v / с ا1, мы можем записать

2

2

⎛ v ⎞

1

1 ⎜ ⎟ 1 ⎛ v y

⎞

=

−

≈ −

c

2 ⎜ c ⎟

⎝ ⎠

⎝ ⎠

с очень хорошим приближением.

Кстати, это пример общего правила, которое можно продемонстрировать при помощи ряда Тейлора , который изучают в математическом анализе, формула которого

(1+) n x ≈ 1+ nx ,

для случая, когда абсолютное значение (модуль) х , то есть | х |, намного меньше 1.

312

Решения

90. bОбратите внимание, что v 2/ c 2 = (1 —)2 = 1–2 с хорошей точностью, поскольку мы пренебрегли совсем маленьким слагаемым 2. Тогда

2

1 v

1 1 2

2

2⎛⎜1 v y

⎞

=

−

≈

− − α =

α

− ⎟.

2

(

)

c

⎝

c ⎠

Есть и другой способ проделать те же вычисления. Мы можем отметить, что выражение под корнем — это разность квадратов, а следовательно, раскладывается на множители как

2

1 v

⎛⎜1 v ⎞ ⎛⎟⎜1 v y

⎞

=

−

=

−

+ ⎟.

2 c

⎝

c ⎠ ⎝

c ⎠

Тогда с очень хорошей точностью 1 + v / с = 2 (ведь мы берем предел v , стремящейся к с ), и выражение просто превращается в 2(1− v / c ), как выше.

1.0

0.8

0.6 y

0.4

0.2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 v /c

Рис. 10Рисунок к решению задачи 90. Сплошная линия — точная формула лоренцевского сокращения как функция доли скорости света v / с . Точечная и пунктирная линии — приближения, выведенные в частях b) и а) для высокого v / с и низкого v / с соответственно.

313

Решения

90. сГрафик показан на рис. 10, где показана и точная формула Лоренцевского сокращения, и два приближения, которые мы только что вывели.

Точность приближений производит сильное впечатление. Общая форма кривой — дуга окружности, тянущаяся от единицы на малых скоростях к нулю на скорости света. Точность лучше 10 % получается для скоростей меньше 0,76 с по приближенной формуле, которую мы вывели в части а), и для скоростей больше 0,65 с по приближенной формуле, которую мы вывели в части b).

90. dНам нужно вычислить Лоренц-фактор для различных значений v . Для очень маленьких значений скорости мы воспользуемся приближением из части а), а для очень больших скоростей — приближением из части b) — для того и нужны приближения! Для v = 0,6 с и 0,8 с мы проделаем вычисления полностью, а также покажем результаты двух приближений —

и убедимся, что они прекрасно работают!

• v = 100 км/ч. Сначала переведем в метры в секунду; в километре 1000 метров, в часе — 3600 секунд, поэтому получается примерно 30 метров в секунду, или 10–7 с с точностью до одной значащей цифры. Тогда согласно приближению, которое мы вывели в части а), получим

2

1 v

15 y 1

1 5 10−

≈ −

= − ×

= 0.999999999999995.

2

2 c

Это множитель, на который время замедляется для водителя, мчащегося по скоростной автотрассе; он так близок к единице, что разница практически не заметна. Кроме того, отметим, что большинство калькуляторов считают недостаточно точно: отчасти поэтому так нужны приближенные формулы, которые мы только что вывели.

Здесь стоит подумать о количестве значащих цифр. Вы вправе сказать, что поскольку скорость здесь дана с точностью до одной значащей цифры, нужно указать у с той же точностью (то есть 1). Но самое интересное в у — его отличие от 1 (это отличительная черта специальной теории относительности), 314

Решения и в этом смысле следует указать с точностью до одной значащей цифры не у , а 1 — у .

2

• v = 30 км/с, или 10–4 с :

1⎛ v ⎞

1

8 y = 1− ⎜ ⎟ = 1− ×10− = 1−0,000000005 =

2 ⎝ c ⎠

2

= 0,999999995.

• v = 0,6 с :

2 y = 1− 0,6 = 1− 0,36 = 0,64 = 0,8. Приближение для малых v дает нам