А. Степанов - Число и культура

Раскроем формулы для числа сочетаний:

k = M! / (M – n)! n ! ,

M = k! / (k – n)! n ! ,

( П.3 )

где знак факториала ( ! ), как всегда, означает перемножение всех чисел от единицы до стоящей перед ним величины.

Начнем анализ с первого значения параметра n, рассмотренного в первой главе: n = 2 (в системе S заданы бинарные отношения). Подставив данное значение в систему уравнений (П.3) и произведя сокращения , получим:

k = M (M – 1) / 2

M = k (k – 1) / 2

Чтобы избавиться от одной из неизвестных, подставим выражение для k во второе уравнение. После нескольких преобразований останется:

8М = М ( М3 – 2М2 – М + 2)

Наличие решений М = 0 и М = ∞ (за счет сомножителя М в обеих частях) отсюда вытекает автоматически, как это и было в самой главе 1. Если же М не равно нулю или бесконечности, есть возможность его сократить:

М3 – 2М2 – М – 6 = 0.

Это кубическое уравнение, левую часть которого можно разложить на сомножители:

(М – 3) (М2 + М + 2) = 0.

Третье (после М = 0 и М = ∞ ) решение: М = 3, – полностью совпадает с таковым из раздела 1.3, но, кроме того, появляются два новых корня (из-за присутствия квадратного трехчлена в левой части):

М = ( – 1 ± i √7) / 2 ,

где i – мнимая единица.

Таким образом, удалось-таки извлечь дополнительную информацию из такого вывода и решения дескриптивного уравнения для систем S, хотя я не уверен в ее практической пользе. Беда в том, что два последних корня, о которых ранее нам было неизвестно, выглядят странно: мало того, что у них отрицательная и дробная вещественная часть, они еще содержат и мнимую составляющую, которая, в свою очередь, включает в себя иррациональную величину. Комплексное количество элементов в системе? – Нет, с такими вариантами мы отказываемся здесь работать, так как абсолютно неясно, какой реальный смысл может им соответствовать, и даже после внимательного изучения не удается обнаружить его следов ни в одной из культурных систем, с которыми довелось иметь дело. Поэтому мы, подражая обыкновению естественных наук и не мудрствуя лукаво, отодвигаем в сторону два эти решения как не имеющие физического, простите, культурного смысла. Оставшиеся решения М = 0, М = ∞, М = 3 полностью совпадают с теми, что уже фигурировали в разделе 1.3.

Ситуация не изменится, если взять теперь в качестве значения параметра n = 3 (в системе S действуют тринитарные отношения). Проделав то же, что и в предыдущем случае, придем к уравнению девятой степени. Наряду со стандартными корнями М = 0, М = ∞, среди "приличных" фигурируют М = 4, М = – 1, что совпадает с совокупностью решений в тексте раздела 1.4. Остальные – комплексные, т.е. не способные бросить разумный дополнительный свет на семантику рассматривающихся культурных и эпистемологических систем. Поэтому, чтобы не городить огород и не вносить избыточной сложности, в основном тексте главы и был использован более простой вариант дескриптивного уравнения: все, что нам требовалось, удается извлечь и из него. Вдобавок в реальной культуре для выбора подходящего значения количества элементов М не решается вообще никаких уравнений, процесс сводится к прямому или косвенному перебору вариантов, так что о появлении комплексных величин (даже в виде более или менее глухих коннотаций) говорить не приходится. Настоящий раздел Приложения - только для любителей скрупулезности.

Чтобы не решать всякий раз заново (с каждой новой величиной n) уравнение (5) раздела 1.2, мы воспользовались в разделе 1.4.1 общими выражениями для его корней (для тех из них, которые нас интересуют, т.е. для вещественных). В их правильности можно удостовериться непосредственной подстановкой. Наличие вариантов М = 0 и М = ∞ вытекает из того, что и в правой, и в левой частях уравнения (5) фигурируют сомножители М. Остается разобраться с корнями М = n + 1 и М = – 1 (см. выражения (9) и (10) раздела 1.4.1).

Возьмем первый из них и подставим в уравнение (5). В левой части вместо М окажется n + 1, в правой – частное от деления (n + 1)! на произведение 1! n !. После сокращения одинаковых сомножителей в числителе и знаменателе в правой части останется n + 1, т.е. уравнение обращается в тождество. Значит, такое решение действительно существует.

Подстановка значения М = – 1 в уравнение приводит к условию

– 1 = ( – 1)! / ( – 1 – n )! ( – 1)!.

Под знаком факториала стоят отрицательные величины, и набор школьных знаний не всем позволяет ими оперировать. Для математиков, однако, затруднений тут нет. Стандартное представление факториалов через Г- функцию и последующее раскрытие неопределенности с помощью вычетов быстро приводит к искомому результату: дробь правой части принимает значение минус единица при всех нечетных n , т.е. уравнение превращается в тождество. Четные n проверяемому условию не удовлетворяют. Поэтому решение М = – 1 и было отнесено только к нечетным n.