Всё о метрологии

Предположим, что θ( t i )=0, т.е. систематические погрешности тем или иным способом исключены из результатов наблюдений, и будем рассматривать только случайные погрешности, средние значения которых равны нулю в каждом сечении. Предположим далее, что случайные погрешности в различных сечениях не зависят друг от друга, т.е. знание случайной погрешности в одном сечении как ординаты одной реализации не дает нам никакой дополнительной информации о значении, принимаемом этой реализацией в любом другом сечении. Тогда случайную погрешность можно рассматривать как случайную величину, а ее значения при каждом из многократных наблюдений одной и той же физической величины — как ее эмпирические проявления, т.е. как результаты независимых наблюдений над ней.

В этих условиях случайная погрешность измерений δ определяется как разность между исправленным результатом Х измерения и истинным значением Q измеряемой величины:

δ = X - Q (3)

причем исправленным будем называть результат измерений, из которого исключены систематические погрешности.

При проведении измерений целью является оценка истинного значения измеряемой величины, которое до опыта неизвестно. Результат измерения включает в себя помимо истинного значения еще и случайную погрешность, следовательно, сам является случайной величиной. В этих условиях фактическое значение случайной погрешности, полученное при поверке, еще не характеризует точности измерений, поэтому не ясно, какое же значение принять за окончательный результат измерения и как охарактеризовать его точность.

Ответ на эти вопросы можно получить, используя при метрологической обработке результатов измерения методы математической статистики, имеющей дело именно со случайными величинами.

Рассмотрим результат наблюдений Х за постоянной физической величиной Q как случайную величину, принимающую различные значения Z , в различных наблюдениях за ней. Значения X i будем называть результатами отдельных наблюдений.

Наиболее универсальный способ описания случайных величин заключается в отыскании их интегральных или дифференциальных функций распределения [1].

Под интегральной функцией распределения результатов наблюдений понимается зависимость вероятности того, что результат наблюдения X i в i -м опыте окажется меньшим некоторого текущего значения х , от самой величины х :

F x ( x ) = P ( X i ≤ x ) (4)

Здесь и в дальнейшем большие буквы используются для обозначения случайных величин, а маленькие — значений, принимаемых случайными величинами. Поскольку функция распределения вероятности представляет собой вероятность, то она удовлетворяет следующим свойствам:

• 0 ≤ F x ( x ) ≤ 1 при x ∈ (–∞, +∞),

• F x (–∞) = 0, F x (+∞) = 1,

• F x ( x ) — неубывающая функция x ,

• P( x 1< X < x 2) = F X ( x 2) – F X ( x 1).

На рис.2 показаны примеры функций распределения вероятности.

Более наглядным является описание свойств результатов наблюдений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей :

f ( x ) = dF X ( x )/ dx (5)

Физический смысл f(x) состоит в том, что произведение f(x)dx представляет вероятность попадания случайной величины Х в интервал от х до х + dx , т.е.

f ( x ) dx = P ( x ≤ X ≤ x+dx ) (6)

Свойства плотности распределения вероятности:

— вероятность достоверного события равна 1;

иными словами, площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распределения и осью абсцисс, равна единице;

— вероятность попадания случайной величины в интервал от x 1до x 2.

От дифференциальной функции распределения легко перейти к интегральной путем интегрирования:

(7)

Размерность плотности распределения вероятностей, как это следует из формулы (7), обратна размерности измеряемой величины, поскольку сама вероятность — величина безразмерная.