Микаэль Лонэ - Большой роман о математике. История мира через призму математики

Эта супертеория создана на основе теории множеств, сформулированной в конце XIX в. Георгом Кантором. Несколько предложений аксиоматизации этой теории были выдвинуты в начале XX в. В период с 1910 по 1913 г. британские математики Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел опубликовали трехтомный труд под названием Principia Mathematica (с лат. – « Принципы математики »). В этой работе содержались аксиомы и логические правила, исходя из которых математика была воссоздана с нуля. Один из самых известных отрывков этой работы находится на триста шестьдесят второй странице первого тома, где Уайтхед и Рассел, воссоздавая арифметику, наконец дошли до доказательства теоремы 1 + 1 = 2! Это очень забавляло авторов, так как требовалось исписать так много страниц с использованием рассуждений, которые могут поставить в тупик неискушенных математиков, чтобы доказать простейшее равенство. Ради вашего интереса ниже приводится доказательство 1 + 1 = 2 на языке символов Уайтхеда и Рассела:

Не пытайтесь разобраться в этой последовательности символов, так как это абсолютно невозможно, не прочитав предыдущие 361 страницу! [25]

После Уайтхеда и Рассела были сделаны и другие предложения по совершенствованию аксиом, и современная математика в значительной степени основывается на нескольких базовых аксиомах из теории множеств.

Всеобщая унификация также вызвала лингвистическую дискуссию, поскольку некоторые математики начали в это время говорить о необходимости использования единственного числа для определения дисциплины. [26]Даже сегодня встречаются еще много математиков, стремящихся навязать использование термина в единственном числе, но привычка уже глубоко засела в подсознании людей, и на текущий момент большинство склоняется к использованию формы множественного числа.

Несмотря на огромный успех теории множеств, Гильберт не был полностью удовлетворен результатом, и у него все еще оставались некоторые сомнения в достоверности аксиом, изложенных в «Принципах математики». Для того чтобы теорию можно было считать совершенной, она должна отвечать двум критериям: последовательности и полноты.

Последовательность подразумевает, что в теории не должно быть парадоксов. Не представляется возможным одновременно доказать справедливость утверждения и его противоположности. Если, например, с помощью одной из аксиом можно доказать, что 1 + 1 = 2, а также, что 1 + 1 = 3, теория непоследовательна, потому что она сама себе противоречит. Полнота же говорит о том, что в данной теории достаточно аксиом для того, чтобы иметь возможность доказать все верные в ее контексте утверждения. Если, например, в арифметической теории недостаточно аксиом, чтобы доказать, что 2 + 2 = 4, то она считается неполной.

Можно ли доказать, что «Принципы математики» соответствуют этим критериям? Можно ли быть уверенным, что мы никогда не столкнемся с парадоксами и что используемые аксиомы будут достаточно точными и универсальными, чтобы с их помощью выводить все возможные теоремы?

Программа Гильберта столкнулась с серьезной проблемой в 1931 г., когда молодой австрийский математик Курт Гёдель опубликовал свою статью под названием «О неразрешимых теоремах “Принципов математики” и других формальных математических систем» (от нем. Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme ). В этой статье приводилось доказательство того, что невозможно создать такую супертеорию, которая будет одновременно последовательной и полной! Если «Принципы математики» последовательны, то обязательно найдутся неразрешимые теоремы, которые нельзя будет ни доказать, ни опровергнуть. Поэтому невозможно определить, являются ли они истинными!

Теорема Геделя о неполноте является памятником математического мышления. Для того чтобы попытаться понять общий принцип, мы должны рассмотреть более подробно, что же такое математика. Вот два простейших арифметических утверждения:

A. Сумма двух четных чисел всегда будет четной.

B. Сумма двух нечетных чисел всегда будет нечетной.

Эти два утверждения достаточно понятные, и могут быть легко написаны на алгебраическом языке Виета. Немного подумав, вы увидите, что первое из этих утверждений, обозначенное как А, верное, в то время как второе, обозначенное как B, является ложным, так как сумма двух нечетных чисел всегда четная. Что приводит нас к следующим двум новым заявлениям: