РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС - Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Короче говоря, ищите зависимость. Если она обнаружится с достаточно высо­кой вероятностью, тогда измените правила системы, чтобы использовать эту за­висимость. В противном случае, при отсутствии убедительного статистического доказательства зависимости, считайте, что ее не существует (и вы понесете мень­шие потери, если фактически зависимость все же существует).

Математическое ожидание

Таким же образом, вам лучше не торговать, пока не будет убедительных доказа­тельств того, что рыночная система, по которой вы собираетесь торговать, при­быльна, то есть пока вы не будете уверены, что рыночная система имеет положи­тельное математическое ожидание. Математическое ожидание является суммой, которую вы можете заработать или проиграть, в среднем, по каждой ставке. На языке азартных игроков это иногда называется «преимуществом игрока» (если оно положительно для игрока) или «преимуществом казино» (если оно отрицательно для игрока):

где Р = вероятность выигрыша или проигрыша;

А = выигранная или проигранная сумма;

N = количество возможных результатов.

Математическое ожидание — это сумма произведений каждого возможного выиг­рыша или проигрыша и вероятности такого выигрыша или проигрыша.

Давайте рассмотрим математическое ожидание игры, где у вас есть 50% шан­сов выиграть 2 доллара и 50% шансов проиграть 1 доллар:

Математическое ожидание = (0,5 * 2) + (0,5 * (-1)) =1+(-0.5) =0,5

В таком случае ваше математическое ожидание — выигрыш 50 центов, в среднем, забросок.

Рассмотрим ставку на один номер в рулетке. В этом случае ваше математичес­кое ожидание составит:

МО =((1/38)* 35)+((37/38) *(-1)) = (0,02631578947 * 35) + (0,9736842105 * (-1)) = (0,9210526315) + (-0,9736842105) = -0,05263157903

Если вы поставите 1 доллар на номер в рулетке (американский двойной ноль), то можете ожидать проигрыш, в среднем, 5,26 центов на один круг. Если вы поставите 5 долларов, то можете ожидать проигрыш, в среднем, 26,3

цента на один круг. Отметьте, что различные ставки имеют различное математи­ческое ожидание в денежном выражении, но в процентном отношении от ставки оно всегда одинаково. Ожидание серии ставок является суммой значений ожиданий отдельных ставок. Поэтому если при игре в рулетку вы ставите 1 доллар на число, затем 10 долларов на число, затем 5 долларов на число, то вашим общим ожида­нием будет:

МО = (-0,0526 * 1) + (-0,0526 *10) + (-0,0526 *5) =0,0526 - 0,526 - 0,263 = -0,8416

Таким образом, следует ожидать проигрыш 84,16 цента. Этот принцип объясняет, почему системы, в которых пытаются изменить раз­мер ставок в зависимости от того, сколько проигрышей или выигрышей было (до­пуская процесс независимых испытаний), считаются проигрышными. Сумма от­рицательных ожиданий по ставкам всегда является отрицательным ожиданием!

В отношении управления капиталом очень важно понимать, что при игре с от­рицательным ожиданием нет схемы управления деньгами, которая может сделать вас победителем. Если вы продолжаете играть, то независимо от способа управления деньгами вы проиграете весь ваш счет, каким бы большим он ни был в начале.

Эта аксиома верна не только для игры с отрицательным ожиданием, она ис­тинна также для игры с равными шансами. Поэтому единственный случай, когда у вас есть шанс выиграть в долгосрочной перспективе, — это игра с положитель­ным математическим ожиданием. Кроме того, вы можете выиграть только в двух случаях. Во-первых, при использовании ставки одинакового размера, во-вторых, используя ставки при f, меньшем значения f, соответствующего точке, в которой среднее геометрическое HPR становится равным или меньшим 1.

Эта аксиома истинна только при отсутствии верхнего поглощающего барье­ра. Например, азартный игрок, который начинает со 100 долларов, прекратит играть, если его счет вырастет до 101 доллара. Эта верхняя цель (101 доллар) на­зывается поглощающим барьером. Допустим, игрок всегда ставит 1 доллар на крас­ный цвет рулетки. Таким образом, у него небольшое отрицательное математическое ожидание. У игрока больше шансов увидеть, как его счет вырастет до 101 доллара и он прекратит играть, чем то, что его счет уменьшится до нуля, и он будет вынужден пре­кратить играть. Если он будет повторять этот процесс снова и снова, то окажется в от­рицательном математическом ожидании. Если сыграть в такую игру только раз, то аксиома неизбежного банкротства, конечно же, не применима. Различие между от­рицательным ожиданием и положительным ожиданием — это различие между жиз­нью и смертью. Не имеет значения, насколько положительное или насколько отри­цательное ожидание; важно только то, положительное оно или отрицательное. По­этому до рассмотрения вопросов управления капиталом вы должны найти игру с положительным ожиданием.