Лиза Рэндалл - Закрученные пассажи - Проникая в тайны скрытых размерностей пространства.

Для построения трех измерений мы можем использовать двумерную информацию. Этот процесс включает урезание информации при создании двумерных представлений и одновременно попытку сохранить достаточно информации для воспроизводства важных элементов исходного объекта. Обратимся к часто используемым методам сведения объектов более высокой размерности к меньшему числу измерений: нарезка слоями, проектирование, голография и иногда просто пренебрежение размерностью, — и обратному процессу восстановления тех трехмерных объектов, которые они представляют.

Наименее сложный способ заглянуть за поверхность — сделать тонкие слои. Каждый слой двумерен, но комбинация слоев образует реальный трехмерный объект. Например, когда вы покупаете ветчину в магазине, трехмерный кусок окорока быстро нарезают на много двумерных ломтей [12] Ломти окорока на самом деле имеют некоторую толщину, поэтому они хоть и тонкие, но трехмерные. Их размер в этом дополнительном измерении настолько мал, что в хорошем приближении можно считать ломти двумерными. Однако даже при произвольной толщине двумерных ломтей можно представить себе, как они складываются вместе, образуя трехмерный кусок. . Складывая все ломти, можно реконструировать форму всего трехмерного куска.

Эта книга трехмерна. Однако ее страницы имеют только два измерения. Объединение двумерных страниц образует книгу [13] Вновь заметим, что для того, чтобы страницы были по-настоящему двумерны, они должны быть бесконечно тонкими, вообще не имеющими никакой толщины в третьем измерении. Однако в данный момент два измерения — это хорошее приближение для страниц такой толщины, как эти. . Можно многими разными способами проиллюстрировать это объединение. Один способ показан на рис. 8, на котором мы смотрим на книгу сбоку. На этом рисунке мы опять играем с размерностью, так как каждая линия представляет страницу. Поскольку все мы знаем, что линии соответствуют двумерным страницам, эта иллюстрация всем ясна. Позднее мы используем аналогичный подход, чтобы изобразить объекты в многомерных мирах.

Разрезание на слои — лишь один из способов заменить высшие измерения более низкими. Другим способом является проектирование — технический термин, заимствованный из геометрии. Проектирование содержит строгие предписания для создания образа объекта, имеющего меньшее число измерений. Тень на стене — один из примеров двумерной проекции трехмерного объекта. На рис. 9 показано, каким образом теряется информация, когда мы (или кролики) осуществляем проектирование. Точки на тени определяются только двумя координатами, лево — право или вверх — вниз на стене. Однако проектируемый объект имеет третье пространственное измерение, которое не сохраняется в проекции.

Простейший способ осуществить проектирование состоит в том, чтобы отбросить одно измерение. Например, на рис. 10 показан куб в трех измерениях, спроектированный на два измерения. Проекция куба может иметь много форм, простейшая из которых есть квадрат.

Возвращаясь к предыдущим примерам графиков Икара и Афины, мы можем построить двумерный график Икара, если пренебрежем его вождением спортивных автомобилей. На самом деле нам не важно, сколько сов выращивает Афина, поэтому мы можем построить не пятимерный, а четырехмерный график. Пренебрежение совами Афины и есть проектирование.

Проекция теряет информацию об исходном многомерном объекте (рис. 9). Однако, когда с помощью проектирования мы создаем картину с меньшим числом измерений, мы иногда добавляем информацию, помогающую восстановить часть потерянного. Дополнительной информацией может быть штриховка или цвет, как в живописи или фотографии. Это может быть число, как на топографических картах для указания высоты местности. Наконец, какие-либо метки могут вообще отсутствовать, и в этом случае двумерное описание просто несет меньше информации.

Если бы не оба наших глаза, работающих совместно и позволяющих реконструировать три измерения, все, что мы видим, было бы проекциями. Если закрыть один глаз, восприятие глубины становится грубее. Один глаз создает двумерную проекцию трехмерной реальности. Чтобы воспроизвести три измерения, нужны два глаза.