Марк Перельман - Наблюдения и озарения или Как физики выявляют законы природы

А о весьма противоречивом отношении к математике физиков, блистательно владевших ее методами, говорят их популярные афоризмы:

◦ «Физические законы должны обладать математической красотой» — П. Дирак,

◦ «Элегантность должна быть оставлена портным» — В. Паули.

◦ «В тех случаях, когда физическая сущность вопроса не ясна, не следует искать у математики путеводной нити для ее выяснения» — Я. И. Френкель,

◦ «Математическое требование высшей точности не очень полезно в физике» — Р. Фейнман.

Вкусы и установки у них, как видим, индивидуальны — общего рецепта нет.

Иное мнение у многих математиков. Великий математик Давид Гильберт любил повторять: «Физика слишком трудна для физиков, за нее должны взяться математики». Он даже включил в свой перечень самых острых проблем математики на XX в. задачу аксиоматизации физики и сам занялся проблемами общей теории относительности (успехи подключения математиков к этим проблемам не дали радикальных результатов).

А теперь, чтобы показать всю сложность и неоднозначность проблемы взаимосвязи физики и математики, такой пример. В 1982 г. Нобелевской премии был удостоен Кеннет Вильсон (р. 1936) за теорию фазовых переходов второго рода, причем впервые премия была присуждена за работу, которая не содержала новых физических идей, а носила — во всяком случае внешне — чисто математический характер.

Поясним смысл его работ, для этого нужно некоторое предисловие. Фазовыми переходами первого рода являются переходы, обусловленные поглощением или выделением теплоты, изменением удельной теплоемкости и других термических характеристик тела (например, конденсация пара, кристаллизация и т. п.). Фазовые переходы второго рода связаны с изменением энтропии, т. е., в основном, внутреннего порядка, симметрии: например, переход от ферромагнитного состояния железа к парамагнитному (он происходит при достижении так называемой температуры Кюри, при которой магниты сразу размагничиваются), сюда же относятся переходы в сверхпроводящее и сверхтекучее состояния, о которых мы еще будем говорить (такая классификация фазовых переходов не является абсолютно строгой, фактически существуют и промежуточные виды переходов и т. д.).

Фазовые переходы второго рода, определяемые критическими показателями температуры, давления, и напряженности поля, характеризуются такой особенностью: закон изменения этих величин при подходе к критической точке один и тот же, вне зависимости от того, какой параметр рассматривается, а все попытки расчетов давали только расходящиеся (бесконечные, лишенные физического смысла) значения.

Вильсон подошел к этой проблеме с неожиданной стороны. Он рассчитал эти величины не в обычном трехмерном пространстве или в виде модели в двухмерном или одномерном пространстве, а в пространстве нецелой размерности. Математически можно, например, рассчитать интегралы в пространстве размерности 2,745. Что это такое? — Не знаю.

Но зато, я знаю иное: Вильсон провел расчеты термодинамических величин в пространстве размерности (3 минус малая величина), а по окончании всех расчетов устремил эту самую малую величину к нулю — осталось, как и должно быть, пространство трех измерений и… правильные значения всех величин [10] Автору удалось получить правильные наборы этих величин по-иному, используя понятия длительности взаимодействий (2007). !

Такие геометрии нецелых размерностей (они называются фрактальными) еще раньше рассматривались математиками. Сейчас они находят интересные применения в теории хаоса: в физике, экономике, социологии и т. д.

А всегда ли можно доверять математике и математикам? В 1931 г. знаменитый логик и математик Курт Гедель (1906–1978) показал, что всякая логическая система аксиом в результате развития теории обязательно приводит к таким теоремам, которые противоречат исходному набору аксиом, т. е. приводит к внутренним противоречиям. Заранее установить, когда это произойдет (и подложить мягкую подушку), по-видимому невозможно — остается проверять на опыте… Иными словами, Гедель показал, что одна лишь логика не может дать ответ на все вопросы — необходимо вмешательство человеческой интуиции, и в этом смысле математика остается искусством.