Абрам Фет - Катастрофы в природе и обществе

Работая с показательными функциями, предпочитают иметь дело с фиксированным основанием степени (а не со случайным основанием k, как в предыдущей формуле). Переход к любому основанию а не составляет труда. В самом деле, чтобы было справедливо (тождественно по t) равенство

достаточно, чтобы были равны логарифмы обеих частей по основанию а:

(проверьте это равенство, вспомнив правила логарифмирования!). Отсюда

Итак, можно записать Q(t) в виде Q 0a -λt, с любым положительным основанием а и λ, заданным последней формулой.

В естествознании пользуются обычно показательными функциями со стандартным основанием e = 2,71828..., именуемым “неперовым числом”. [Дж.Непер (J. Napier, 1550 – 1617) – изобретатель логарифмов. Для знакомых с понятием производной поясним, почему оказывается предпочтение основанию е: показательная функция с этим основанием не меняется при дифференцировании].

Мы также будем придерживаться этого обычая, чтобы наши формулы имели общепринятый вид. Положим в предыдущих выкладках а = е и обозначим через (натуральный логарифм). Тогда имеем

где

При t = 0, T, 2T,..., как читатель легко проверит, Q(t) = Q 0, Q 1, Q 2, ... (здесь надо воспользоваться тем, что e lnk=k). Таким образом, получаются прежние значения для качества через одно, два и более поколений. При этом отношения Q 1/Q 0, Q 2/Q 1,... равны 1/k. При возрастании k растет и λ, так как основание логарифмов е > 1 и, следовательно, ln – возрастающая функция. Таким образом, чем больше λ, тем меньше принимаются во внимание интересы потомства, а при бесконечно большом λ ( λ=∞) они вовсе игнорируются. По этой причине можно назвать λ "параметром эгоизма".

Естественно предположить, что качество, приписываемое владельцем своему имуществу, пропорционально доходу, который он может с него получить. В самом деле, понятие "качества жизни" сводится, как принято думать, к перечню потребляемых товаров, а доход определяет набор товаров, какие можно на него купить. Мы ограничимся таким пониманием "качества" и будем считать, что качество имущества в оценке его владельца есть просто возможный для него пожизненный доход с этого имущества. С другой стороны, общественная оценка качества имущества – это максимальный доход, который можно из этого имущества извлечь. Ясно, что этот доход не может быть меньше рыночной цены имущества: иначе никто его не купит. Но он не может быть и больше рыночной цены, так как в этом случае продажа его означала бы потерю для владельца. Итак, общественная оценка качества – это рыночная цена.

Две указанные оценки качества не всегда совпадают, поскольку у владельца могут быть и другие причины ценить свое имущество – кроме возможного дохода с него. Как уже было сказано, такой причиной может быть желание передать это имущество в сохранном виде своим наследникам. Рассмотрим опять пример лесной собственности. Владелец лесного участка, приписывающий ему в течение своей жизни среднее качество Q 0, не считает себя вправе израсходовать всю рыночную стоимость леса на себя, а выделяет долю Q 1+ Q 2+ ... своим потомкам. Качество, оставляемое "для себя", пропорционально его ежегодному доходу, то есть его ренте p". С другой стороны, владелец завода той же рыночной стоимости Q 0+ Q 1+ Q 2+ ... может вовсе не заботиться о своем потомстве, зная, как быстро устаревает оборудование: предположим, что он будет тратить весь доход со своего завода на себя. Тогда его рента p' будет пропорциональна написанной выше сумме. Поэтому отношение рент

Отсюда

или, пользуясь формулой для Q(t), имеем

В правой части стоит геометрическая прогрессия со знаменателем e -λt. Так как λ>0, то e -λt<1, и сумма прогрессии находится по известной формуле:

Отсюда можно выразить "параметр эгоизма" λ через ε:

следовательно,

(не забудьте, что здесь применяется натуральный логарифм, то есть логарифм по основанию е!).

(Заметим, что мы здесь отождествили ренту от лесной собственности с рентой от земельной; при более подробном исследовании надо было бы учесть возможные различия между ними. Впрочем, предыдущие рассуждения можно повторить и для земельной собственности – может быть, с несколько иной величиной ренты).

Таким образом, "параметр эгоизма" может быть выражен через число ε, то есть через нормы прибыли в промышленности и сельском хозяйстве, существующие в данном месте в данное время. Это позволяет оценить отношение к потомству людей данной культуры на любом этапе ее существования, поскольку нормы прибыли обычно известны – либо из статистических данных, либо, для далеких времен, из исторических документов.