Абрам Фет - Катастрофы в природе и обществе

Будем нумеровать участки индексом i, а общее число участков, пригодных для посева пшеницы, обозначим через n. Пусть производительность i-го участка составляет P iкилограммов в год (причем, разумеется, числа P iмогут быть различны, поскольку различны площади и природные условия участков); тогда общее производство пшеницы, при условии, что обрабатываются все участки, было бы равно

Р = Р 1+ Р 2+...+ Р n

килограммов. Предположим, что племя насчитывает N человек, и что среднее потребление пшеницы на человека составляет Р 0килограммов в год. Тогда годовая потребность в пшенице равна

Р = NР 0

килограммов. Мы рассмотрим лишь случай, когда Р > Р, то есть когда можно, во всяком случае, обеспечить пшеницей все племя, обрабатывая все участки. Если племя не заинтересовано в излишнем продукте (как это наблюдается у индейцев пуэбло), то обрабатываются не все участки, а лишь самые выгодные из них. Стоящая перед племенем задача оптимизации состоит в выборе этих участков.

Обработка каждого участка требует определенных трудовых затрат, которые, как и производительность, различны для разных участков. Конечно, эти затраты измеряются не в деньгах, поскольку мы описываем общество без денег; но можно себе представить, что они складываются из затрат на приобретение орудий труда и на труд выращивания пшеницы. Поскольку денег еще нет, все эти затраты выражаются обычно в количестве выращиваемого продукта, качество которого мы будем считать одинаковым: в Японии до конца девятнадцатого века все налоги и повинности крестьян выплачивались рисом. Можно предположить, что вследствие однородности сельскохозяйственной работы и равноценности рабочей силы труд выращивания пшеницы измеряется числом килограммов пшеницы, за которое соплеменник согласился бы выполнить этот труд. Пусть полные трудовые затраты на i-ом участке составляют S iкилограммов.

Подчеркнем еще раз, что качество зерна и рабочей силы здесь не учитываются; дальше мы займемся этим очень важным вопросом, не принятым во внимание в "теориях стоимости" Д. Рикардо и К. Маркса.

Изобразим теперь все n участков и их свойства на следующей двумерной диаграмме.

Введем на плоскости координаты S, Р (рис.1) и сопоставим участку с производительностью Р iи трудовыми затратами S iточку с координатами (S i,Р i). Все такие точки i = 1,2,...,n заполняют на рисунке 1 некоторое "облако" точек, окруженное замкнутой кривой, и требуется выделить часть этого облака, дающую заданную общую продукцию зерна при наименьших общих трудовых затратах.

Предположим, что набор участков, решающий эту задачу, занумерован первыми m числами 1,2,...,m (m < n). Тогда, по условию, должны удовлетворяться все потребности в зерне, то есть должно быть

Р 1+ Р 1+ ... + Р m= Р,

и при этом условии сумма трудовых затрат

S 1+ S 2+ ... + S m= S

должна быть минимальной.

Рис.1

Трудовые затраты на килограмм зерна составляют для i-го участка S i/P i, что геометрически означает наклон к оси P прямой O i. Ясно, что прежде всего желательно использовать те участки i, для которых этот наклон возможно меньше. Сначала выберем участок с наименьшим наклоном, затем – со следующим по величине, и т.д. Прямую R, отсекающую отобранные участки, построим следующим образом. Можно себе представить, что вначале прямая R совпадает с осью ОР; вращая ее вокруг точки О, как часовую стрелку, мы остановим ее в таком положении, когда полная производительность участков выше нее и на ней самой достигнет требуемой величины Р. Закрепим прямую R в таком положении и будем называть точки i, указанные выше – то есть расположенные выше прямой R и на этой прямой – "областью А", а все остальные точки, расположенные ниже прямой R, – "областью В".

Как мы покажем, имеет смысл засевать лишь участки области А, которые оказываются наиболее выгодными для производства пшеницы. В самом деле, предположим, что один из участков области А, с номером i, не обработан, и покажем, что в этом случае можно предложить более выгодный способ использования имеющихся земельных ресурсов. Поскольку задана общая производительность Р, какую надо получить со всех обрабатываемых участков, а область А построена так, что все ее участки вместе дают именно эту продукцию, то выпадение участка i означает, что обработаны некоторые из участков остальной области В. Предположим, что участки j 1, j 2, ..., j kобласти В обработаны и дают в сумме как раз недостающую производительность Р iучастка i. Покажем, что в таком случае выгоднее прекратить их обработку и вместо них обработать один участок i.