Шинтан Яу - Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Прежде чем перейти к доказательству, я хотел бы вернуться на несколько десятилетий назад, в 1979 год, когда я еще работал в Институте перспективных исследований. В тот год я пригласил в Принстон более дюжины исследователей со всего мира, работающих в области геометрического анализа, чтобы вместе с ними попытаться заложить основы этой новой дисциплины. Мною было отобрано 120 важнейших геометрических вопросов, почти половина из которых в настоящее время полностью решена. Гипотеза Пуанкаре в этот список не входила. Причиной тому, с одной стороны, было отсутствие необходимости привлекать внимание к задаче, которая и без того являлась одной из известнейших в математике. С другой стороны, я искал задачи, имеющие более узкую формулировку, — такие, на которые можно найти однозначный ответ, — причем, по возможности, в обозримое время. И хотя нам порой приходилось бороться за то, чтобы узнать что-то новое, мы достигли заметного прогресса именно на пути решения подобных задач; это как раз то, что стимулирует математиков к работе сильнее, чем что-либо другое. В то время, однако, никто не знал, что делать с гипотезой Пуанкаре.

Одним из тех, кто не принимал участия в наших дискуссиях, был математик Ричард Гамильтон, работавший тогда в Корнеллском университете и впоследствии осевший на математическом факультете Колумбийского университета. В то время он как раз приступал к выполнению амбициозного проекта, посвященного поиску методов преобразования сложной и не обладающей гладкостью метрики в более гладкую. Несмотря на все упования Гамильтона, эти разработки не принесли столь быстрого успеха, на который он рассчитывал. Его интересовала чрезвычайно сложная система уравнений, относящаяся к вопросу о потоке Риччи — одном из видов геометрического потока, которые уже упоминались ранее. По сути дела, геометрический поток представляет собой метод, позволяющий разгладить выпуклости и прочие неровности на неоднородной поверхности, придавая таким образом поверхностям более однородную кривизну и выявляя фундаментальные формы, лежащие в их основе. Идеи Гамильтона не вошли в мой список из 120 основных задач хотя бы потому, что в то время он еще ничего не опубликовал по этой теме. Он скорее забавлялся ими, чем пытался найти решение.

Возможность познакомиться с его достижениями на 1979 год я получил, выступая с докладом в Корнеллском университете. Гамильтон тогда не считал свои уравнения применимыми к доказательству гипотезы Пуанкаре — он рассматривал их просто как задачу, небезынтересную для исследователя. Впервые столкнувшись с подобными уравнениями, я также занял весьма скептическую позицию по поводу их применимости… Уравнения выглядели слишком сложными, чтобы их можно было использовать на практике. Однако работа, проделанная Гамильтоном после этого, позволила ему опубликовать в 1983 году статью, посвященную решению уравнений, которые сейчас носят название гамильтоновых. В этой статье Гамильтон доказал особый случай гипотезы Пуанкаре, а именно тот случай, при котором кривизна Риччи положительна. О кривизне Риччи, тесно связанной с физикой, более подробно будет рассказано в следующей главе.

Мой изначальный скептицизм побудил меня досконально исследовать статью Гамильтона, вчитываясь буквально в каждую строку, прежде чем я окончательно согласился с ней. При этом доказательство Гамильтона столь захватило меня, что по прочтении я немедленно поручил трем моим аспирантам из Принстона начать работу над его уравнениями. Тогда же я посоветовал Гамильтону попытаться воспользоваться своим подходом для доказательства гипотезы геометризации Тёрстона, относящейся к классификации трехмерных многообразий по восьми типам геометрий, расширенная форма которой включает в себя и общее доказательство гипотезы Пуанкаре. К сожалению, в то время я был мало осведомлен о каких-либо других методах, которые бы пригодились для дальнейшей работы над этим вопросом. Как ни удивительно, Гамильтон взялся за эту задачу с огромной энергией, постепенно продвигаясь в области исследований потока Риччи на протяжении следующих двадцати лет, работая в основном самостоятельно, хотя и находясь в тесном контакте со мной и моими студентами. Контакты между нами заметно оживились в 1984 году, когда мы с Гамильтоном вместе поступили на работу в Калифорнийский университет в Сан-Диего, где заняли смежные офисы. Посещение его семинаров по потокам Риччи было обязательным для всех моих студентов. Сотрудничество с Гамильтоном позволило нам узнать много нового, впрочем, я надеюсь, что он также перенял кое-что и от меня. Переехав в Гарвард в 1987 году, я больше всего жалел об утраченной возможности работать в тесном контакте с Гамильтоном.