Шинтан Яу - Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Некоторые из ключей к разгадке геометрии четырехмерных объектов были найдены в 1982 году, когда Саймон Дональдсон, в то время аспирант Оксфордского университета второго года обучения, опубликовал первую из нескольких статей, посвященных структуре четырехмерного пространства. Чтобы открыть окно в четвертое измерение, Дональдсон воспользовался нелинейными уравнениями в частных производных, разработанными в 1950 году физиками Чжэньнином Янгом и Робертом Миллсом. Уравнения Янга-Миллса, объединяющие сильное взаимодействие, ответственное за поведение кварков и глюонов в атомном ядре, со слабым, связанным с радиоактивным распадом, и электромагнитным — взаимодействием между заряженными частицами — работают именно в четырехмерном пространстве. Вместо того чтобы решать эти уравнения «в лоб», для чего необходимо было бы вначале установить геометрические и топологические особенности соответствующего пространства, Дональдсон подошел к проблеме с другой стороны: он рассудил, что решения уравнений должны содержать в себе информацию о том четырехмерном пространстве, в котором они работают. Точнее, данные решения должны привести к установлению некоторых ключевых величин, характеризующих соответствующие им пространства, — математики называют эти величины инвариантами , — которые впоследствии используются для определения тождественности или различности этих пространств.

Работа Дональдсона не только пролила свет на разыскиваемые им инварианты, но также позволила обнаружить весьма неожиданный и загадочный факт, а именно существование неизвестного прежде класса «экзотических» пространств, возможных только в четырех измерениях. Чтобы объяснить, что в данном контексте значит слово экзотический , необходимо вначале затронуть вопрос о том, какие две поверхности или многообразия можно считать идентичными. У математиков существуют различные методы сравнения многообразий. Первый из них связан с представлением о топологической эквивалентности. Проиллюстрировать этот метод можно при помощи примера со сдутым и накачанным мячом. Два объекта называют топологически идентичными, или гомеоморфными , если один из них можно преобразовать в другой исключительно путем изгиба, сжатия или растяжения, не прибегая к разрезам. Подобный переход от одного многообразия к другому носит название непрерывного отображения . Это отображение является взаимно-однозначным, то есть каждая точка одной поверхности соответствует строго определенной точке другой поверхности. Более того, точки, находившиеся в непосредственной близости друг от друга на первой поверхности, после подобного отображения по-прежнему останутся рядом.

Второй метод сравнения многообразий характеризуется несколько большей утонченностью и строгостью. В этом случае вопрос состоит в том, возможно ли перейти от одного многообразия к другому, не нарушая его гладкости , то есть не вводя так называемые сингулярности, например острые углы или пики на поверхности. Многообразия, эквивалентные в этом смысле, носят название диффеоморфных . Чтобы два многообразия можно было считать диффеоморфными, функция, преобразующая одно многообразие в другое — или, иными словами, переводящая набор координат одного пространства в набор координат второго, — должна быть гладкой — дифференцируемой, то есть иметь производную во всех точках пространства в любой момент времени. График такой функции также должен быть гладким — не иметь никаких «зазубрин» во всех смыслах этого слова — наличие на нем обрывов, участков скачкообразного роста или падения привело бы к тому, что в определенных точках само понятие производной потеряло бы смысл.

В качестве примера рассмотрим сферу, помещенную внутрь эллипсоида — поверхности, имеющей форму дыни, — так, что их центры совпадают. Лучи, проведенные из их общего центра во всех возможных направлениях, соединят точки на сфере с точками на эллипсоиде. Подобная операция может быть проделана для любой точки эллипсоида или сферы. Отображение в данном случае не только является непрерывным и однозначным, но оно также не нарушает гладкости отображаемой поверхности. Функция, связывающая две эти поверхности, также не имеет никаких особенностей — это просто прямая линия без зигзагов, резких поворотов и вообще чего-либо необычного. Таким образом, два рассматриваемых объекта — сферу и эллипсоид — можно назвать как гомеоморфными, так и диффеоморфными.