Андрей Павлов - Геометрия - Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Рис. 1.

Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными её точками. Эти две точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов. Когда говорят или пишут: «отрезок АВ», то подразумевают отрезок с концами в точках А и В (рис. 2).

Рис. 2.

[АВ] – отрезок АВ.

Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Это разбиение обладает следующим свойством. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Отрезок АВ не пересекает прямую а, отрезок АС пересекает прямую а (рис. 3).

Рис. 3.

Лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки. Эта точка называется начальной точкой луча. Различные лучи одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называют дополнительными (рис. 4).

Рис. 4.

Лучи, так же как и прямые, обозначаются строчными латинскими буквами. Точка А является начальной точкой двух лучей p и q. Лучи p и q являются дополнительными.

Углом называется фигура, которая состоит из точки – вершины угла – и двух различных лучей или отрезков, исходящих из этой точки – сторон угла. Слово «угол» иногда заменяют знаком ? (рис. 5, 6).

Рис. 5.

Рис. 6.

На рис. 5 угол ? = ?АОВ образован двумя отрезками ОА и ОВ.

На рис. 6 угол ? образован двумя лучами р и q, имеющими начальную точку О.

Если стороны угла являются дополнительными лучами одной прямой, то угол называют развёрнутым (рис. 7).

Рис. 7.

Угол А является здесь развёрнутым.

Луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок, соединяющий любые две точки, лежащие на разных сторонах угла.

Луч q проходит между сторонами ОА и OB угла AOB (рис. 8).

Рис. 8.

Углы измеряют в градусах и радианах. При этом ? радиан = 180°.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами (рис. 9).

Рис. 9.

Сумма смежных углов равна 180°.

Лучи p и q – дополнительные, точка В принадлежит лучу p а точка А принадлежит лучу q. Углы СОА и СОВ – смежные.

Угол, равный 90°, называется прямым.

Угол, меньший 90°, называют острым углом. Угол, больший 90° и меньший 180°, называют тупым (рис. 10, а; б; в).

Рис. 10.

Углы:?АОВ – прямой, ?COD – острый, ?EOF – тупой.

На рисунках прямые углы часто обозначают знаками ?, ?.

Два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого (рис. 11).

Рис. 11.

р и q – дополнительные лучи одной прямой, а m и n – дополнительные лучи другой прямой. Точка О – точка пересечения этих двух прямых и является начальной точкой всех указанных выше лучей.

Точки А, В, С, D лежат на соответствующих лучах.

Углы АОВ и COD – вертикальные.

Две прямые называют перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Перпендикулярность прямых обозначается знаком ? (рис. 12):

а ? b.

Рис. 12.