Жуан Гомес - Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

Евклидова геометрия содержит основные понятия любой геометрии, такие как точки, прямые и плоскости, но эти понятия в других геометриях необходимо пересмотреть. В новой геометрии прямой линией будет называться любая линия, которая является кратчайшим расстоянием между двумя точками, а плоскостью будет такая поверхность, которая обладает следующим свойством: если две точки на прямой принадлежат этой поверхности, то все другие точки на этой прямой также будут принадлежать этой поверхности.

Эти идеи действительны во всех геометриях и характеризуют новый подход к восприятию форм. Неевклидовы прямые линии могут оказаться искривленными, а в так называемой сферической геометрии сфера считается плоскостью и большие окружности на ее поверхности являются прямыми линиями. Обе геометрии имеют общую терминологию, потому что и там, и там прямая линия является самой простой линией, а плоскость — самой простой поверхностью.

Как же мы можем быть уверены в том, что две прямые параллельны? Нам нужно продолжить их в бесконечность и убедиться, что они никогда не пересекутся. Человеческий разум владеет абстрактным понятием прямой линии, имеющей только длину, но не ширину. Можно представить себе две линии, которые никогда не пересекаются и всегда находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. Все это можно представить, но нельзя доказать экспериментально. В конце концов, евклидова геометрия является такой же абстрактной идеей, как и все остальные.

* * *

НАПОМИНАНИЕ

До сих пор никто не смог доказать ни одно из следующих утверждений.

1. Через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной.

2. Через точку вне прямой проходит более одной прямой, параллельной данной.

3. Через точку вне прямой не проходит ни одна прямая, параллельная данной.

Все эти постулаты возможны и приводят к новым геометриям.

-

ЗЛОПОЛУЧНАЯ ФРАЗА

В конце 1950 гг. математики со всего мира встречались на семинарах и конгрессах в Европе и Америке, обсуждая необходимость преподавания так называемой «современной математики» в средней школе. Самый известный конгресс состоялся в Руайомоне (Франция) в ноябре 1959 г. Там французский математик Жан Дьёдонне(1906–1992) , заканчивая свой доклад, посвященный «Началам» Евклида, воскликнул: «Долой Евклида!» Эта фраза стала популярной в математическом сообществе и ассоциируется с наступлением эры современной математики.

К сожалению, эти слова были сказаны одним из самых влиятельных математиков XX в. Нет необходимости еще раз говорить о значении «Начал» и вкладе их автора: без Евклида мы были бы не в состоянии объяснить окружающую реальность или развивать другие геометрии. К счастью, специалисты в области образования во всем мире отстояли наследие Евклида, и его геометрию продолжают изучать в школе.

На протяжении веков пятый постулат вызывал обильные комментарии и критику в трудах самых известных геометров. Многие из них были убеждены, что этот постулат можно доказать с помощью других постулатов, и сосредоточили свои усилия на поиске доказательства, чтобы, наконец, объявить его теоремой.

После многих столетий развития математических теорий никто так и не смог доказать ни сам постулат, ни ложность тех геометрий, которые этот постулат отвергают.

Список математиков, которые пытались доказать пятый постулат Евклида, содержит много самых знаменитых имен в истории науки. Результаты этих ученых открыли дорогу новым геометриям, и мы не должны забывать их новаторских работ в этой области.

Тем не менее, несмотря на усилия лучших математиков, все попытки были тщетны. Каждый, кто брался за решение этой задачи, получал результаты, эквивалентные пятому постулату, но строгое доказательство так и не было найдено. Одна из первых попыток была сделана Проклом в V в.

Прокл оставил ряд своих комментариев, например:

« Это положение должно быть совершенно изъято из числа постулатов, потому что это — теорема, вызывающая много сомнений, которые Птолемей пытался разрешить в одной из своих книг, и его доказательство потребовало сложных определений и теорем. Кроме того, обратное утверждение было доказано самим Евклидом в качестве теоремы. Утверждение, что «две прямые неизбежно пересекаются, будучи продленными достаточно далеко», представляется правдоподобным, но не необходимым. Таким образом, совершенно ясно, что должно быть найдено доказательство настоящей теоремы, а такое требование природе постулатов совершенно чуждо ».