Бизенц Торра - Том 15. От абака к цифровой революции. Алгоритмы и вычисления

В математике Боэция числа могут быть равными ( aequalis ) или неравными ( inaequalis ). Равенство нельзя разделить на категории, так как это понятие неделимо. Однако можно классифицировать различные виды неравенства. К первой категории ( maioris ) относились случаи, когда некое число было больше данного, ко второй ( minoris ) — случаи, когда некое число было меньше данного. Эти категории делились на пять подкатегорий в зависимости от типа отношения между числами. Первая категория содержала кратные ( multiplex ), сверхчастичные ( superparticularis ), сверхчастные ( superpartiens ), кратно-сверхчастные ( multiplex superparticularis ) и кратно-сверхчастичные ( multiplex superpartiens ) числа. Вторая категория делилась на подкратные ( submultiplex ), подсверхчастичные ( subsuperparticularis ), подсверхчастные ( subsuperpartiens ), подкратно-сверхчастные ( submultiplex superparticularis ) и подкратно-сверхчастичные ( submultiplex superpartiens ).

Как можно убедиться, игра, подобная ритмомахии, значительно помогала прояснить систему Боэция. Для этого позднеримского автора кратным числом было такое, в котором первое число укладывалось n раз. Таким образом, вводились двойные, тройные, четверные числа и так далее. Например, 8 — четверное число для 2.

Число называлось сверхчастичным, если содержало другое число и его часть. Например, 9 — сверхчастичное число для 6, так как 9 = 6 + (1/2)·6. Сверхчастное число содержит другое число и несколько его частей. Например, 9 — сверхчастное для 7, так как 9 = 7 + (2/7)·7. Кратно-сверхчастичные числа содержат другое число несколько раз и одну его часть, кратно-сверхчастные содержат другое число несколько раз и несколько его частей. Например, 15 — кратно-сверхчастичное для 6, так как оно равняется 6 + 6 + (1/2)·6, а 16 — кратно-сверхчастное для 7, так как равняется 7 + 7 + (2/7)·7.

Боэций в своей книге также определял три типа средних величин. Первая из них — среднее арифметическое, определяемое как m = ( а + Ь )/2. Его основное свойство заключается в том, что интервалы между ним и данными числами одинаковы. Вторая — среднее геометрическое, определяемое как m = √( а · b ). Его основное свойство заключается в том, что а относится к m точно так же, как m относится к Ь . Иными словами, а / m = m / b . Третья средняя величина — среднее гармоническое: m = 1/((1/ а + 1/ Ь )/2), или, что аналогично, m = 2 аЬ /( а + Ь ).

Как ритмомахия помогала разобраться в этом нагромождении отношений между числами? Очевидно, путем их использования в увлекательной игре. Игра велась на доске шириной 8 и длиной 16 клеток (длина доски могла отличаться). Каждому игроку выдавались 24 фишки с числами, которые были кратными, сверхчастными и сверхчастичными для данных чисел. Игроки использовали математические операции, чтобы снимать с доски фишки противника. Например, если фишка с номером 4 располагалась в 9 клетках от фишки с номером 36, то фишка с номером 36 оказывалась взятой (так как 36 = 4·9). Если фишки с номерами 4 и 8 располагались по бокам от фишки с номером 12, последняя оказывалась взятой (так как 12 = 4 + 8).

Кроме того, в условиях окончания игры фигурировали три средние величины, введенные Боэцием. Например, если одному из игроков удавалось расположить подряд фишки с номерами 2, 4, 6, при этом между ними располагалась фишка противника, это означало конец партии. Почему? Потому что 4 — среднее арифметическое 2 и 6.

* * *

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ В АРИФМЕТИКЕ БОЭЦИЯ

«Древним было хорошо известно, что существуют три средние величины: арифметическая, геометрическая и гармоническая. Они же рассматривались в науке Пифагора, Платона и Аристотеля.

<���…> Назовем величину средней арифметической, когда разности между тремя членами или любым другим их числом одинаковы. <���…> Теперь объясним среднюю геометрическую, которую лучше было бы назвать средней пропорциональной, так как в ней рассматриваются пропорции.

Поскольку здесь всегда рассматриваются равные пропорции… например 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, или тройная пропорция 1, 3, 9, 27, 81, равно как можно установить четверное, пятерное или любое другое отношение. <���…> Среди других средних гармоническая не строится ни с помощью разностей, ни с помощью равных пропорций. Вместо этого средняя гармоническая есть та, в которой составляется наибольшее с наименьшим (частное) и сравнивается (или приравнивается) разность наибольшего со средним и разница среднего с наименьшим. Например, 4, 5, 6 или 2, 3, 6. 6 превосходит 4 на свою третью часть (то есть на 2), 4 превосходит 3 на свою четвертую часть (на 1), 6 превосходит 3 на свою половину (на 3), 3 превосходит 2 на свою третью часть (на единицу)».