Хавьер Фресан - Том. 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

Курт Гёдельв Институте перспективных исследований в Принстоне, Нью-Джерси.

* * *

ГЁДЕЛЬ И АМЕРИКАНСКОЕ ГРАЖДАНСТВО

Покинув нацистскую Германию, Курт Гёдель в 1940 году был принят на работу в Принстонский университет. Когда семь лет спустя он получил американское гражданство, с ним произошел анекдотичный случай. Как и остальные кандидаты, Гёдель должен был продемонстрировать на экзамене знание американской конституции. И хотя экзамен был лишь формальностью, Гёдель решил серьезно подготовиться к нему, однако во время подготовки обнаружил в Конституции США несколько логических противоречий:

— Ранее у вас было немецкое гражданство?

— Нет, австрийское! — поправил чиновника Гёдель.

— Какая разница, в любом случае — страна с проклятым диктатором. К счастью, в Америке это невозможно!

— Совершенно наоборот, — перебил Гёдель. — И я знаю, как это может случиться!

Однако чиновник, которого Альберт Эйнштейн предупредил, что Гёдель отличается от остальных кандидатов, взял нить разговора в свои руки и перешел к рутинным вопросам, сказав: «Не будем умствовать». Примерно в то же самое время некоторые логики начали формировать основы новой теории — деонтической логики, целью которой было избежать противоречий при дополнении существующих законов новыми положениями.

* * *

21 июня 1851 года Адольф Андерсен, лучший шахматист того времени, встретился в одном из старейших ресторанов Лондона с Лионелем Кизерицким, преподавателем шахматного клуба в Париже, и сыгранная ими партия позже была названа бессмертной. Впечатленный стратегией Андерсена, который пожертвовал слоном, ферзем и двумя ладьями, Кизерицкий захотел отправить запись партии в свой шахматный клуб. «Белые: пятая пешка слева передвинута на две клетки вперед. Черные: пешка на той же вертикали ставится перед пятой пешкой белых. Белые: третья пешка справа передвигается на две клетки вперед. Черные: пешка, которой был сделан первый ход, бьет пешку, которой белые совершили последний ход»… Но нет! Запись выглядела вовсе не так. Ее первые символы: е2—е4 е7—е5 f2—f4 е5: f4 …». Вся запись заняла не больше трех строк!

Если бы шахматист использовал первый способ записи, стоимость телеграммы с описанием партии превысила бы стоимость счета в «Кафе де ля Режанс», где сыграть в шахматы можно было за пять франков в час.

Игроки разработали чрезвычайно краткий способ записи ходов. Для этого они, во-первых, применили старинный метод аналитической геометрии Декарта, благодаря которому каждая клетка шахматной доски стала обозначаться двумя координатами: латинской буквой от а до h обозначались вертикали, числами от 1 до 8 — горизонтали. Пешки не обозначались никак, а все остальные фигуры получили обозначения по первым буквам названий (в русской нотации: Кр — король, Ф — ферзь, А — ладья, К — конь, С — слон). Далее нотация пополнилась другими символами: взятие фигуры обозначалось буквой х (в русской нотации — двоеточием), шах — знаком умножения в русской нотации и решеткой (#) — в международной. В этой нотации последовательность символов « е2—е4 е7—е5 f2—f4 е5: f4 » означает: «белые делают ход пешкой на клетку е4 , черные отвечают ходом пешки на е5 . Затем белые делают ход пешкой на f4 , черные проводят взятие этой пешки пешкой, которая находилась на клетке е5 ».

Этот пример подтверждает, насколько удобно использовать системы кодов в различных областях, в том числе за пределами математики, преобразуя сложные выражения в цепочку простых символов. В предыдущей главе вы видели, как свойства натуральных чисел, записанные обычным языком, можно перевести на язык символов, описанный в «Началах математики». Так, аксиома «0 не следует ни за каким натуральным числом» в этой системе преобразуется в формулу Однако Гёделю требовалось сделать еще один шаг вперед: чтобы доказать теорему о неполноте, ему было недостаточно свести арифметику к формулам — требовалось свести любую формулу и даже любое доказательство к единственному числу.

И Гёдель вспомнил, что на семинарах по истории философии, которые он посещал во время учебы в Венском университете, профессор Теодор Гомперц рассказывал об издании Луи Кутюром отредактированных рукописей Лейбница в 1903 году.