Хавьер Арбонес - Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

Игрок-композитор бросает кости, и выпадает число от 2 до 12. Это число указывает на номер ячейки таблицы в столбце 1. Например, выпали числа 3 и 5, в сумме они дают 8. Это означает, что нужно выбрать число в строке 8 первого столбца. Это число 152. Такт номер 152 станет первым в нашем «произведении». Повторив эти же действия для каждого из оставшихся столбцов, мы получим 32 такта. (При выборе чисел во второй таблице нужно бросать только один кубик.)

Число возможных композиций

Каково число различных композиций в этой игре? Первый такт можно выбрать 11 способами — по числу возможных очков (от 2 до 12), выпавших при броске двух игральных костей. Для каждого первого такта второй такт можно выбрать также 11 способами. Всего первые два такта можно выбрать 11·11 = 11 2= 121 различным способом.

Для каждой пары первых двух тактов третий такт можно выбрать И способами. Таким образом, общее число возможных сочетаний первых трех тактов равно 11 2·11 = 11 3= 1331.

* * *

УЛИПО

Комбинаторный метод, похожий на тот, что изложен выше, использовал в XX веке французский писатель Раймон Кено(1903–1976) , который вместе с математиком Франсуа Ле Лионне в 1960 году основал УЛИПО (фр. OULIPO , сокращение от Ouvroir de littérature potentielle — цех потенциальной литературы). Его произведение Cent mille milliards de poémes («Сто тысяч миллиардов стихотворений») состоит из десяти сонетов, каждая из четырнадцати строк которых может сочетаться с любой другой строкой любого другого сонета. Так, существует 10 вариантов выбора первой строки, 10 — второй и так далее. Таким образом, общее число сонетов равно 10 14 — название этого числа и вынесено в заглавие произведения.

* * *

С каждым новым тактом менуэта общее число возможных композиций увеличивается в 11 раз, с каждым тактом трио — в 6 раз. Общее число «произведений» В этой игре равно 11 6·6 16= 129629238163050258624287932416 ~= 1,3·10 29. Если бы кто-то решил исполнить их все подряд, одно за другим, без перерывов, тратя на исполнение каждого 30 секунд, то ему понадобилось бы свыше 123 000 триллионов лет.

Любопытно, что с точки зрения теории вероятностей игра плохо подходит для создания разнообразных композиций. При броске двух костей число возможных очков лежит в интервале от 2 до 12, но вероятность выпадения разных чисел отличается: 7 можно выбросить шестью способами, а 2 и 12 — всего одним, как можно увидеть из следующей таблицы:

При изучении искусства композиции часто используется следующий метод: ученик должен написать произведение в стиле одного из великих композиторов: фугу в стиле Баха, сонату в стиле Бетховена или прелюдию в стиле Дебюсси.

Рассмотрим в качестве примера творчество Бетховена. При копировании его стиля ученик должен использовать различные приемы, чтобы созданная им композиция «звучала, как бетховенская». В чем же заключается стиль Бетховена? Можно перечислить несколько примеров: это и музыкальная форма, и исполнение мелодии при использовании более или менее широких мелодических интервалов, включение пауз и динамических контрастов.

Каждое музыкальное измерение определенного стиля можно проанализировать с помощью статистических методов. Например, если мы хотим изучить тематические мотивы сонат Бетховена, можно проанализировать ширину выбранного регистра, то есть интервал между самой низкой и самой высокой нотой. Статистика покажет, в каких из этих мотивов ширина регистра равна 1 полутону, 2, 3 и так далее. (Кстати, интересно узнать минимальную ширину интервала, использованную Бетховеном, то есть первый ненулевой член этой числовой последовательности.) Похожая статистика поможет проанализировать любой другой параметр.

Хотя с помощью методов статистики можно получить общее представление о композиции, в нем не будет учитываться контекст: при копировании стиля распределение нот, возможно, будет не столь важно (информация о том, сколько нот до содержится в произведении, будет абсолютно бесполезной, если мы запишем все эти ноты подряд в самом начале нашей композиции). Важно знать не то, сколько раз используется каждая нота по отдельности, а то, как связаны ноты между собой.