Хавьер Арбонес - Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

Решить эту задачу нам помогут цепи Маркова. Суть их использования заключается в следующем. С помощью методов статистики мы изучаем порядок следования различных «состояний» системы. Применительно к созданию мелодий цепи Маркова позволяют воспроизвести закономерности, которые указывают, как определенные последовательности нот влияют на звучащие в дальнейшем ноты.

День рождения Маркова

В следующем примере мы используем цепи Маркова, чтобы создать мелодию в стиле известной песни Happy Birthday .

В следующей таблице показано, сколько раз каждая нота встречается в этой мелодии:

Может показаться, что если мы хотим написать мелодию в этом же стиле, в новой мелодии ноты должны располагаться в точно таком же соотношении. Но в действительности такая мелодия будет иметь мало общего с оригиналом.

Вместо того чтобы анализировать, сколько раз в мелодии встречается каждая нота, с помощью цепей Маркова можно определить, в какой последовательности они располагаются. 26 нот мелодии упорядочены с помощью 25 переходов: первый переход соль-соль , второй — соль-ля и так далее. Максимально возможное число переходов равняется 8·8 = 64, но не все они используются в этой мелодии.

В следующей таблице приведено число переходов каждого типа:

Даже если мы выберем первую ноту произвольным образом, следующие ноты будут выбраны в соответствии с информацией о числе переходов каждого типа, которая содержится в таблице.

Начнем новую мелодию с ноты соль — с этой же ноты начинается оригинальная мелодия. Какие ноты могут следовать за начальным соль ? В последней строке таблицы показано, что в мелодии Happy Birthday ноту, следующую за нотой соль , можно выбрать восьмью способами: один раз за ней следует соль второй октавы, один раз ре , один раз до , два раза ля , три раза та же нота соль . Обозначим каждый из этих переходов числом от 1 до 8 и выберем случайным образом число, лежащее в этом интервале, чтобы определить вторую ноту мелодии. Если выпадет 1, этой нотой будет соль второй октавы, если 2 — ре , если 3 — до , если 4 или 5 — ля , если 6, 7 или 8 — соль . Допустим, выпало число 3. Это означает, что второй нотой в новой мелодии будет нота до .

Повторим эти же действия для пяти возможных вариантов выбора ноты, следующей за до: ре, до, си, си и соль . Случайно выбранное число в интервале от 1 до 5 укажет третью ноту новой мелодии. Допустим, выпало число 4. Третьей нотой новой мелодии станет нота си . Эти действия повторяются требуемое число раз. Далее приведена мелодия, написанная с помощью этой техники:

Второй Happy Birthday

Мы только что проанализировали музыкальное произведение с помощью марковского процесса первого порядка, учитывая, как каждая нота зависит от предыдущей. Попробуем теперь использовать марковский процесс второго порядка и определить, как каждая нота зависит от двух предыдущих. Проанализируем исходную мелодию еще раз. Первый переход второго порядка — это соль-соль => ля . Следующий — соль-ля => соль .

Хотя число возможных переходов второго порядка равняется 64·8 = 512, в мелодии используется лишь несколько из них. Они представлены в таблице:

При создании мелодии второго порядка нужно выполнить те же действия, что и в предыдущем случае. Разница заключается только в том, что останется совсем немного способов «свернуть» с пути, заданного исходной мелодией. Далее приведена мелодия, созданная по этому методу:

Эти мелодии воссоздают исходную Happy Birthday лишь порядком следования нот друг за другом. Эту же технику можно применять и к другим музыкальным «измерениям» и определять с ее помощью длительности нот, гармонические последовательности, регистры, оркестровку и так далее.